Какие бывают ошибки арифметические

From Wikipedia, the free encyclopedia

«Invalid proof» redirects here. For any type of invalid proof besides mathematics, see Fallacy.

«0 = 1» redirects here. For the algebraic structure where this equality holds, see Null ring.

In mathematics, certain kinds of mistaken proof are often exhibited, and sometimes collected, as illustrations of a concept called mathematical fallacy. There is a distinction between a simple mistake and a mathematical fallacy in a proof, in that a mistake in a proof leads to an invalid proof while in the best-known examples of mathematical fallacies there is some element of concealment or deception in the presentation of the proof.

For example, the reason why validity fails may be attributed to a division by zero that is hidden by algebraic notation. There is a certain quality of the mathematical fallacy: as typically presented, it leads not only to an absurd result, but does so in a crafty or clever way.^[1] Therefore, these fallacies, for pedagogic reasons, usually take the form of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle, or designed to show that certain steps are conditional, and are not applicable in the cases that are the exceptions to the rules.

The traditional way of presenting a mathematical fallacy is to give an invalid step of deduction mixed in with valid steps, so that the meaning of fallacy is here slightly different from the logical fallacy. The latter usually applies to a form of argument that does not comply with the valid inference rules of logic, whereas the problematic mathematical step is typically a correct rule applied with a tacit wrong assumption. Beyond pedagogy, the resolution of a fallacy can lead to deeper insights into a subject (e.g., the introduction of Pasch’s axiom of Euclidean geometry,^[2] the five colour theorem of graph theory). Pseudaria, an ancient lost book of false proofs, is attributed to Euclid.^[3]

Mathematical fallacies exist in many branches of mathematics. In elementary algebra, typical examples may involve a step where division by zero is performed, where a root is incorrectly extracted or, more generally, where different values of a multiple valued function are equated. Well-known fallacies also exist in elementary Euclidean geometry and calculus.^[4][5]

Howlers[edit]

Examples exist of mathematically correct results derived by incorrect lines of reasoning. Such an argument, however true the conclusion appears to be, is mathematically invalid and is commonly known as a howler. The following is an example of a howler involving anomalous cancellation:

Here, although the conclusion 16/64 = 1/4 is correct, there is a fallacious, invalid cancellation in the middle step.^{[note 1]} Another classical example of a howler is proving the Cayley–Hamilton theorem by simply substituting the scalar variables of the characteristic polynomial by the matrix.

Bogus proofs, calculations, or derivations constructed to produce a correct result in spite of incorrect logic or operations were termed «howlers» by Maxwell.^[2] Outside the field of mathematics the term howler has various meanings, generally less specific.

Division by zero[edit]

The division-by-zero fallacy has many variants. The following example uses a disguised division by zero to «prove» that 2 = 1, but can be modified to prove that any number equals any other number.

1. Let a and b be equal, nonzero quantities

   

2. Multiply by a

   

3. Subtract b²

   

4. Factor both sides: the left factors as a difference of squares, the right is factored by extracting b from both terms

   

5. Divide out (a − b)

   

6. Use the fact that a = b

   

7. Combine like terms on the left

   

8. Divide by the non-zero b

   

Q.E.D.^[6]

The fallacy is in line 5: the progression from line 4 to line 5 involves division by a − b, which is zero since a = b. Since division by zero is undefined, the argument is invalid.

Analysis[edit]

Mathematical analysis as the mathematical study of change and limits can lead to mathematical fallacies — if the properties of integrals and differentials are ignored. For instance, a naive use of integration by parts can be used to give a false proof that 0 = 1.^[7] Letting u = 1/log x and dv = dx/x, we may write:

after which the antiderivatives may be cancelled yielding 0 = 1. The problem is that antiderivatives are only defined up to a constant and shifting them by 1 or indeed any number is allowed. The error really comes to light when we introduce arbitrary integration limits a and b.

Since the difference between two values of a constant function vanishes, the same definite integral appears on both sides of the equation.

Multivalued functions[edit]

Many functions do not have a unique inverse. For instance, while squaring a number gives a unique value, there are two possible square roots of a positive number. The square root is multivalued. One value can be chosen by convention as the principal value; in the case of the square root the non-negative value is the principal value, but there is no guarantee that the square root given as the principal value of the square of a number will be equal to the original number (e.g. the principal square root of the square of −2 is 2). This remains true for nth roots.

Positive and negative roots[edit]

Care must be taken when taking the square root of both sides of an equality. Failing to do so results in a «proof» of^[8] 5 = 4.

Proof:

Start from

Write this as

Rewrite as

Add 81/4 on both sides:

These are perfect squares:

Take the square root of both sides:

Add 9/2 on both sides:

Q.E.D.

The fallacy is in the second to last line, where the square root of both sides is taken: a² = b² only implies a = b if a and b have the same sign, which is not the case here. In this case, it implies that a = –b, so the equation should read

which, by adding 9/2 on both sides, correctly reduces to 5 = 5.

Another example illustrating the danger of taking the square root of both sides of an equation involves the following fundamental identity^[9]

which holds as a consequence of the Pythagorean theorem. Then, by taking a square root,

Evaluating this when x = π , we get that

or

which is incorrect.

The error in each of these examples fundamentally lies in the fact that any equation of the form

where , has two solutions:

and it is essential to check which of these solutions is relevant to the problem at hand.^[10] In the above fallacy, the square root that allowed the second equation to be deduced from the first is valid only when cos x is positive. In particular, when x is set to π, the second equation is rendered invalid.

Square roots of negative numbers[edit]

Invalid proofs utilizing powers and roots are often of the following kind:

The fallacy is that the rule is generally valid only if at least one of and is non-negative (when dealing with real numbers), which is not the case here.^[11]

Alternatively, imaginary roots are obfuscated in the following:

The error here lies in the third equality, as the rule only holds for positive real a and real b, c.

Complex exponents[edit]

When a number is raised to a complex power, the result is not uniquely defined (see Exponentiation § Failure of power and logarithm identities). If this property is not recognized, then errors such as the following can result:

The error here is that the rule of multiplying exponents as when going to the third line does not apply unmodified with complex exponents, even if when putting both sides to the power i only the principal value is chosen. When treated as multivalued functions, both sides produce the same set of values, being {e^2πn | n ∈ ℤ}.

Geometry[edit]

Many mathematical fallacies in geometry arise from using an additive equality involving oriented quantities (such as adding vectors along a given line or adding oriented angles in the plane) to a valid identity, but which fixes only the absolute value of (one of) these quantities. This quantity is then incorporated into the equation with the wrong orientation, so as to produce an absurd conclusion. This wrong orientation is usually suggested implicitly by supplying an imprecise diagram of the situation, where relative positions of points or lines are chosen in a way that is actually impossible under the hypotheses of the argument, but non-obviously so.

In general, such a fallacy is easy to expose by drawing a precise picture of the situation, in which some relative positions will be different from those in the provided diagram. In order to avoid such fallacies, a correct geometric argument using addition or subtraction of distances or angles should always prove that quantities are being incorporated with their correct orientation.

Fallacy of the isosceles triangle[edit]

The fallacy of the isosceles triangle, from (Maxwell 1959, Chapter II, § 1), purports to show that every triangle is isosceles, meaning that two sides of the triangle are congruent. This fallacy was known to Lewis Carroll and may have been discovered by him. It was published in 1899.^[12][13]

Given a triangle △ABC, prove that AB = AC:

1. Draw a line bisecting ∠A.
2. Draw the perpendicular bisector of segment BC, which bisects BC at a point D.
3. Let these two lines meet at a point O.
4. Draw line OR perpendicular to AB, line OQ perpendicular to AC.
5. Draw lines OB and OC.
6. By AAS, △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (common side)).
7. By RHS,^{[note 2]} △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hypotenuse); RO = OQ (leg)).
8. Thus, AR = AQ, RB = QC, and AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

As a corollary, one can show that all triangles are equilateral, by showing that AB = BC and AC = BC in the same way.

The error in the proof is the assumption in the diagram that the point O is inside the triangle. In fact, O always lies on the circumcircle of the △ABC (except for isosceles and equilateral triangles where AO and OD coincide). Furthermore, it can be shown that, if AB is longer than AC, then R will lie within AB, while Q will lie outside of AC, and vice versa (in fact, any diagram drawn with sufficiently accurate instruments will verify the above two facts). Because of this, AB is still AR + RB, but AC is actually AQ − QC; and thus the lengths are not necessarily the same.

Proof by induction[edit]

There exist several fallacious proofs by induction in which one of the components, basis case or inductive step, is incorrect. Intuitively, proofs by induction work by arguing that if a statement is true in one case, it is true in the next case, and hence by repeatedly applying this, it can be shown to be true for all cases. The following «proof» shows that all horses are the same colour.^{[14][note 3]}

1. Let us say that any group of N horses is all of the same colour.
2. If we remove a horse from the group, we have a group of N − 1 horses of the same colour. If we add another horse, we have another group of N horses. By our previous assumption, all the horses are of the same colour in this new group, since it is a group of N horses.
3. Thus we have constructed two groups of N horses all of the same colour, with N − 1 horses in common. Since these two groups have some horses in common, the two groups must be of the same colour as each other.
4. Therefore, combining all the horses used, we have a group of N + 1 horses of the same colour.
5. Thus if any N horses are all the same colour, any N + 1 horses are the same colour.
6. This is clearly true for N = 1 (i.e., one horse is a group where all the horses are the same colour). Thus, by induction, N horses are the same colour for any positive integer N, and so all horses are the same colour.

The fallacy in this proof arises in line 3. For N = 1, the two groups of horses have N − 1 = 0 horses in common, and thus are not necessarily the same colour as each other, so the group of N + 1 = 2 horses is not necessarily all of the same colour. The implication «every N horses are of the same colour, then N + 1 horses are of the same colour» works for any N > 1, but fails to be true when N = 1. The basis case is correct, but the induction step has a fundamental flaw.

See also[edit]

• Anomalous cancellation – Kind of arithmetic error
• Division by zero – Class of mathematical expression
• List of incomplete proofs
• Mathematical coincidence – Coincidence in mathematics
• Paradox – Statement that apparently contradicts itself
• Proof by intimidation – Marking an argument as obvious or trivial

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

• Invalid proofs at Cut-the-knot (including literature references)
• Classic fallacies with some discussion
• More invalid proofs from AhaJokes.com
• Math jokes including an invalid proof

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10⁻⁶, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10⁻².

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

где — старшая значащая цифра числа.

Для двоичного представления чисел имеем .

Тот факт, что число является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или .

Запись вида

означает, что число является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

характеризуется невязкой

где — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Предельные погрешности

Пусть искомая величина является функцией параметров — приближенное значение . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

Предельной относительной погрешностью называется величина .

Пусть — приближенное значение . Предполагаем, что — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

где .

Отсюда

где .

Можно показать, что при малых эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

где .

Несложно показать, что:

1. — предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
2. — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

где , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

Наибольшая погрешность будет в случае , тогда

Т.к. , где — мантисса числа , то всегда . Тогда и относительная погрешность равна . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

где — любая из арифметических операций, .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Если сумма точных чисел равна

сумма приближенных чисел равна

где — абсолютные погрешности представления чисел.

Тогда абсолютная погрешность суммы равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

где — относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

( 3 )

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

≅

с точностью величин второго порядка малости относительно .

Тогда .

Если , то ≅

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

где – суммарная погрешность, – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, – погрешность представления чисел с плавающей точкой.

Погрешности вычисления функций

Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.

Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной .

Если , то .

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов оценивается величиной:

.

Если , то .

Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной , если дифференцируема и :

.

Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция наиболее критична к погрешности , то:

(погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

Точное решение задачи легко найти:

Если компьютер работает при , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение , т.е. , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении .

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

Общее решение имеет вид:

При заданных начальных данных точное решение задачи: , однако малая погрешность в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

Его решение: , однако значение известно лишь приближенно: , и на самом деле .

Соответственно, разность будет:

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие:

Очевидно, что:

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных при .

Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

является пара чисел .

Изменив правую часть системы на , получим возмущенную систему:

с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки , разность которых составляет .

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

, причем и

Тогда:

Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:

Очевидно, что , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо получим , т.е. .

Следовательно, если , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.

Список литературы

• А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы. Москва «Наука», 1989.
• http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
• http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

• Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Заметили ошибку в решении суда — ничего страшного, всё можно исправить.

Ошибки бывают разные. В зависимости от того, какая ошибка, закон предусматривает разные пути её исправления.

Неумышленная описка в тексте решения или ошибка в расчётах исправляется просто. Сложнее, если суд ошибся в своих суждениях.

Имеет ли судья право на ошибку

Кто ничего не делает, тот и не ошибается — простое и понятное изречение.

Судья каждый день принимает решения и каждое решение несёт риск ошибки.

Можете возразить — судья представляет власть и не должен ошибаться.

Да, не должен, но иногда ошибается и с этим ничего не поделаешь.

Поэтому закон предусматривает многоэтапную проверку судебных решений — апелляция и кассация, в некоторых случаях надзор.

Вероятность ошибиться в нескольких инстанциях крайне низкая, но не нулевая. Ошибаются даже в Верховном Суде. И с этим то же ничего не поделаешь.

Что такое описка в решении суда

Были времена, когда текст судебного решения печатали на механической машинке, иногда писали от руки.

Нельзя было скопировать кусок текста из одного решение и вставить в другой. Мотивировка решения была скудной, а текст решения умещался на одной странице.

Сегодня тексты набирают на компьютере: быстро, удобно, повышает производительность.

Однако ошибались всегда: в рукописном тексте допускали описку, в печатном — опечатку.

В любом случае, описка или опечатка — это неумышленная случайная ошибка из-за невнимательности при подготовке текста.

Отличие от судебной ошибки

Описку в решении суда нужно отличать от судебной ошибки. Это важно, от этого зависит способ исправления дефекта в судебном решении.

Описка — это результат невнимательности: хотели написать одно, получилось другое.

Судья или помощник торопились при составлении текста решения, потом не проверили его, и вот результат.

Судебная же ошибка всегда осознанна — суд ошибается в суждениях, оценке доказательств, выборе и применении закона.

Описка или опечатка — ошибка в букве, слове, предложении. Судебная ошибка — ошибка в мыслях.

Ошибка в арифметике: явная и неявная

У судей нет времени сидеть с калькулятором, делать или проверять сложные расчёты.

Особо сложные, например проверку бухгалтерского или налогового учёта, судьи поручают экспертам.

Расчёт предоставляют участники процесса. Судья либо соглашается с ним, либо делает свой.

Обсчитаться может каждый. Не нужно забывать, что большинство судей гуманитарии не только по образованию, но и по типу мышления.

Арифметическая ошибка — ошибка в математических расчётах.

Неправильно умножили, не там поставили запятую перед десятичным знаком, сложили не те значения, наконец, просто потеряли ноль.

Явная арифметическая ошибка — очевидная, грубая, которую может определить человек со школьным уровнем знаний в арифметике.

Почти все ошибки явные. Поэтому не нужно забивать голову вопросом: «Явную или неявную арифметическую ошибку допустил судья?»

Способы исправления

Исправление описки или арифметической ошибки в тексте решении суда — это НЕ изменение самого решения

При изменении решения меняется его смысловое содержание. Неважно, полностью или частично.

Суд не вправе изменить своё решение. Это запрещено законом и разрешено только вышестоящему суду.

А вот неумышленную описку и ошибку в расчётах исправляет суд, который её допустил.

Отсюда следующее правило:

• Судья неумышленно в решении допустил описку (опечатку) или ошибся в математических расчётах — подаём заявление об исправлении
• Судья ошибся в суждениях, оценке доказательств, выборе и применении закона (допустил осознанную судебную ошибку) — подаем апелляционную жалобу на решение суда

Когда нужно исправлять решение

«Исправить или оставить как есть» — зависит от конкретной ситуации, от обстоятельств дела.

Важно определить, какие последствия может повлечь такая описка. Лучше, если это сделает юрист.

Немаловажно в какой части решения описка.

Описка в резолютивной части (после «суд решил») — лучше исправить.

В мотивировочной части (где выводы суда) — на усмотрение, опять же в зависимости от возможных последствий.

Арифметические ошибки нужно исправлять, когда обсчёт существенен.

Не нужно тратить силы и время, если судья ошибся на несколько копеек или рублей.

Кстати, исправить описку или ошибку в арифметике можно не только в решении суда, но и в определении, по аналогии.

Кто инициирует, кто исправляет, куда подавать

Исправление описки или арифметической ошибки инициирует тот, кто её обнаружил.

Если заметил судья — исправит по собственной инициативе, если участник процесса — суд на основании его заявления.

Не нужно ждать инициативы от суда — у судей много работы и нет времени на перепроверку своих же решений.

Просто помогите судье — подайте заявление об исправлении, не ждите что это сделает кто-то другой.

Заявление нужно подавать по принципу: кто ошибся, тот и должен исправить — кто должен исправить, тому адресуем и ему же подаём.

Заявление в суд об исправлении описки

Составить самому заявление в суд об исправлении описки не сложно. В Интернете масса образцов, само же заявление — на одну страницу.

Структура заявления проста и состоит из четырёх частей:

1. Обозначаем описку
2. Мотивируем, почему это описка
3. Ссылаемся на статьи 200 и 203.1 ГПК РФ (в арбитраже — статья 179 АПК РФ)
4. Просим исправить, предлагая свой вариант

В качестве примера. Разъясняя в мотивировочной части решения права истцу, судья перепутал его ФИО с ФИО ответчика.

Просительная часть заявления об исправлении описки будет выглядеть следующим образом:

— Прошу исправить допущенную в первом предложении последнего абзаца мотивировочной части решения суда описку:

«При таких обстоятельствах, Иванов Иван Иванович вправе требовать установления сервитута в отношении застроенного земельного участка»,

изложив его в следующей редакции:

«При таких обстоятельствах, Петров Пётр Петрович вправе требовать установления сервитута в отношении застроенного земельного участка»

Когда лучше привлечь юриста

Заявление не всегда простенький текст на половину страницы. Иногда его нужно дополнить смысловой нагрузкой.

Суд исказил фамилию участника, неправильно указал отчество, ошибся в дате рождения — всё это легко исправимо и не требует участия юриста.

Другое дело, когда не совсем ясно, почему суд допустил описку и описка ли это вообще.

В этом случае за составлением заявления лучше обратиться к юристу или адвокату, минимум — получить консультацию.

Почему меня не вызвали в суд

Раньше суд рассматривал заявление об исправлении описки в решении только в судебном заседании.

Рассмотрение вопроса об исправлении вне судебного заседания считалось процессуальным нарушением.

Сейчас у судьи два варианта:

1. Не проводить заседание, не извещать участников процесса
2. Провести заседание, предварительно сообщив участникам время и место проведения

Вариант определяет судья, по своему усмотрению. Сочтёт необходимым — вызовет и проведёт заседание, не сочтёт — рассмотрит не заседая в одиночестве.

Суд отказал в исправлении описки. Что дальше?

Рассмотрев заявление о исправлении, суд выносит определение — либо исправляет, либо отказывает в этом.

Если вопрос рассматривался в судебном заседании с вызовом, обычно копию определения вручают здесь же.

Если суд не проводил заседания, копию высылают в течение трёх дней по почте.

Почтовые отправления — всегда риск. Лучше отследить дело и получить определение в суде.

Судья отказал в исправлении, вы не согласны, позиции разошлись — можно подать частную жалобу

Здесь точно лучше обратиться к юристу.

Определенный тип ошибочного доказательства

В математике некоторые виды ошибочного доказательства часто выставляется, а иногда и собирается, как иллюстрации концепции, называемой математической ошибкой . Существует различие между простой ошибкой и математической ошибкой в ​​доказательстве, поскольку ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент сокрытия или обмана в представлении доказательство.

Например, причина, по которой не действует достоверность, может быть отнесена к делению на ноль, которое скрыто алгебраической записью. Есть определенное качество математической ошибки: в том виде, в котором она обычно представлена, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом. Следовательно, эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательств очевидных противоречий. Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг вывода, смешанный с действительными шагами, так что значение ошибки здесь немного отличается от логического . заблуждение. Последнее обычно применяется к форме аргумента, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно является правильным правилом, применяемым с неявным неверным предположением. Помимо педагогики, разрешение ошибки может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение аксиомы Паша евклидовой геометрии, теоремы пяти цветов теории графов ). Псевдария, древняя утерянная книга ложных доказательств, приписывается Евклиду.

. Математические заблуждения существуют во многих областях математики. В элементарной алгебре типичные примеры могут включать в себя этап, на котором выполняется деление на ноль, где корень извлекается неправильно или, в более общем смысле, когда разные значения многозначная функция приравнивается. Известные заблуждения также существуют в элементарной евклидовой геометрии и исчислении.

Содержание

• 1 Howlers
• 2 Деление на ноль
• 3 Анализ
• 4 Многозначные функции
  • 4.1 Положительные и отрицательные корни
  • 4.2 Квадратные корни из отрицательных чисел
  • 4.3 Комплексные показатели
• 5 Геометрия
  • 5.1 Ошибка равнобедренного треугольника
• 6 Доказательство индукцией
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Howlers

ddx 1 x = dd 1 x 2 = d ∖ d ∖ 1 x 2 = — 1 x 2 {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \; \; \; {\ dfrac {d} {dx}} {\ dfrac {1} {x}} \\ = {\ dfrac {d} {d}} {\ dfrac {1} {x ^ {2}} } \\ = {\ dfrac {d \! \! \! \ backslash} {d \! \! \! \ backslash}} {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \\ = — {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \ end {array}}}

.. Аномальное. отмена. в исчислении

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен и широко известен как вопль. Ниже приведен пример сигнализатора, включающего аномальную отмену :

16 64 = 16/6/4 = 1 4. {\ displaystyle {\ frac {16} {64}} = {\ frac {16 \! \! \! /} {6 \! \! \! / 4}} = {\ frac {1} {4}}.}

Здесь, хотя вывод 16/64 = 1/4 верен, на среднем этапе происходит ошибочная, недопустимая отмена. Другой классический пример ревуна — доказательство теоремы Кэли – Гамильтона простой заменой скалярных переменных характеристического полинома на матрицу.

Поддельные доказательства, вычисления или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, Максвелл назвал «завываниями». Вне математики термин ревун имеет различные значения, как правило, менее конкретные.

Деление на ноль

Ошибка деления на ноль имеет множество вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.

1. Пусть a и b равны, ненулевые величины

   a = b {\ displaystyle a = b}

2. Умножить на a

   a 2 = ab {\ displaystyle a ^ {2} = ab}

3. Вычтем b

   a 2 — b 2 = ab — b 2 {\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = ab-b ^ {2}}

4. Разложим на множители обе стороны: левый множитель как разность квадратов, правый множится путем извлечения b из обоих членов

   (a — b) (a + b) = b (a — b) {\ displaystyle (ab) (a + b) = b (ab)}

5. Разделить (a — b)

   a + b = b {\ displaystyle a + b = b}

6. Учитывая, что a = b

   b + b = b {\ displaystyle b + b = b}

7. Объедините одинаковые термины слева

   2 b = b {\ displaystyle 2b = b}

8. Разделите на ненулевое b

   2 = 1 {\ displaystyle 2 = 1}

QED

Ошибка в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на a — b, которое равно нулю, поскольку a = b. Поскольку деление на ноль не определено, аргумент недопустим.

Анализ

Математический анализ как математическое исследование изменений и пределов может привести к математическим ошибкам — если свойства интегралов и дифференциалы игнорируются. Например, наивное использование интегрирования по частям может быть использовано для ложного доказательства того, что 0 = 1. Полагая u = 1 / log x и dv = dx / x, мы может писать:

∫ 1 x журнал ⁡ xdx = 1 + ∫ 1 x журнал ⁡ xdx {\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 1 + \ int { \ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx}

, после чего первообразные могут быть отменены с получением 0 = 1. Проблема в том, что первообразные определены только до a константа и их смещение на 1 или любое другое число разрешено. Ошибка действительно обнаруживается, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования a и b.

∫ a b 1 x журнал ⁡ x d x = 1 | ab + ∫ ab 1 x журнал ⁡ xdx = 0 + ∫ ab 1 x log ⁡ xdx = ∫ ab 1 x log ⁡ xdx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 1 | _ {a} ^ {b} + \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 0 + \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \ log x}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \ log x} } \, dx}

Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции равна нулю, один и тот же определенный интеграл появляется с обеих сторон уравнения.

Многозначные функции

Многие функции не имеют уникального обратного. Например, возведение числа в квадрат дает уникальное значение, но есть два возможных квадратных корня из положительного числа. Квадратный корень — это многозначный. Одно значение может быть выбрано по соглашению в качестве основного значения ; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным для корней n-й степени.

Положительных и отрицательных корней

Необходимо соблюдать осторожность при извлечении квадратного корня из обеих частей равенства. В противном случае «доказательство» составляет 5 = 4.

Доказательство:

Начать с

— 20 = — 20 {\ displaystyle -20 = -20}

Запишите это как

25-45 = 16-36 {\ displaystyle 25-45 = 16-36}

Перепишите как

5 2–5 × 9 = 4 2–4 × 9 {\ displaystyle 5 ^ {2 } -5 \ times 9 = 4 ^ {2} -4 \ times 9}

Добавьте 81/4 с обеих сторон:

5 2 — 5 × 9 + 81 4 = 4 2 — 4 × 9 + 81 4 {\ displaystyle 5 ^ {2} -5 \ times 9 + {\ frac {81} {4}} = 4 ^ {2} -4 \ times 9 + {\ frac {81} {4}}}

Это полные квадраты:

(5 — 9 2) 2 = (4 — 9 2) 2 {\ displaystyle \ left (5 — {\ frac {9} {2}} \ right) ^ {2} = \ left (4 — {\ frac {9} {2}} \ right) ^ {2}}

Извлеките квадратный корень из обеих сторон:

5 — 9 2 = 4 — 9 2 {\ displaystyle 5 — {\ frac {9} {2}} = 4 — {\ frac {9} {2}}}

Добавьте 9/2 с обеих сторон:

5 = 4 {\ displaystyle 5 = 4}

QED

Ошибка заключается в предпоследней строке, где берется квадратный корень из обеих частей: a = b означает, что a = b, только если a и b имеют одинаковый знак, что здесь не так. В данном случае это означает, что a = –b, поэтому уравнение должно выглядеть так:

5 — 9 2 = — (4 — 9 2) {\ displaystyle 5 — {\ frac {9} {2}} = — \ left (4 — {\ frac {9} {2}} \ right)}

которое, добавив 9/2 с обеих сторон, правильно сокращается до 5 = 5.

Еще один пример, иллюстрирующий опасность извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения включает следующее фундаментальное тождество:

cos 2 ⁡ x = 1 — sin 2 ⁡ x {\ displaystyle \ cos ^ {2} x = 1- \ sin ^ {2} x }

, которое выполняется как следствие теоремы Пифагора. Затем, извлекая квадратный корень,

cos ⁡ x = 1 — sin 2 ⁡ x {\ displaystyle \ cos x = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} x}}}

так, чтобы

1 + соз ⁡ х знак равно 1 + 1 — грех 2 ⁡ х. {\ displaystyle 1+ \ cos x = 1 + {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} x}}.}

Но оценивая это при x = π, мы получаем, что

1 — 1 = 1 + 1–0 {\ displaystyle 1-1 = 1 + {\ sqrt {1-0}}}

или

0 = 2 {\ displaystyle 0 = 2}

, что неверно.

Ошибка в каждом из этих примеров в основном заключается в том, что любое уравнение вида

x 2 = a 2 {\ displaystyle x ^ {2} = a ^ {2}}

где a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}, имеет два решения:

x = ± a {\ displaystyle x = \ pm a}

и важно, чтобы проверьте, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме. В приведенной выше ошибке квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cos x положителен. В частности, когда x установлен в π, второе уравнение становится недействительным.

Квадратные корни из отрицательных чисел

Недействительные доказательства с использованием степеней и корней часто бывают следующего вида:

1 = 1 = (- 1) (- 1) = — 1 — 1 знак равно я ⋅ я знак равно — 1. {\ displaystyle 1 = {\ sqrt {1}} = {\ sqrt {(-1) (- 1)}} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1 }} = i \ cdot i = -1.}

Ошибка заключается в том, что правило xy ​​= xy {\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y }}}обычно допустимо, только если оба x {\ displaystyle x}и y {\ displaystyle y}неотрицательны (при работе с действительными числами), что здесь не так.

В качестве альтернативы, мнимые корни затемняются следующим образом:

i = — 1 = (- 1) 2 4 = ((- 1) 2) 1 4 = 1 1 4 = 1 {\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}} = \ left (-1 \ right) ^ {\ frac {2} {4}} = \ left (\ left (-1 \ right) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} = 1 ^ {\ frac {1} {4}} = 1}

Ошибка здесь в последнем равенство, где мы игнорируем другие корни четвертой степени из 1, которые равны -1, i и -i (где i — мнимая единица ). Поскольку мы возводили нашу фигуру в квадрат, а затем пустили корни, мы не всегда можем предположить, что все корни будут правильными. Таким образом, правильные корни четвертой степени — это i и −i, которые представляют собой мнимые числа, возведенные в квадрат до −1.

Комплексные показатели

Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Отказ мощности и тождества логарифма ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:

e 2 π i = 1 (e 2 π i) i = 1 ie — 2 π = 1 {\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {2 \ pi i} = 1 \\\ влево (e ^ {2 \ pi i} \ right) ^ {i} = 1 ^ {i} \\ e ^ {- 2 \ pi} = 1 \\\ end {align}}}

Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется без изменений с комплексными показателями, даже если при установке обеих сторон в степень i только главный значение выбрано. Когда они рассматриваются как многозначные функции, обе стороны производят одинаковый набор значений, являющихся {e | n ∈ ℤ}.

Геометрия

Многие математические ошибки в геометрии возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов в плоскости) к действительной идентичности, но которая фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин. Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, чтобы сделать абсурдный вывод. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается путем предоставления неточной схемы ситуации, в которой относительное положение точек или линий выбирается таким образом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но неочевидно.

В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от тех, что указаны на представленной диаграмме. Чтобы избежать таких заблуждений, правильный геометрический аргумент с использованием сложения или вычитания расстояний или углов должен всегда доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.

Ошибка равнобедренного треугольника

Ошибка равнобедренного треугольника из (Максвелл 1959, Глава II, § 1) имеет целью показать, что каждый треугольник равно равнобедренный, что означает, что две стороны треугольника конгруэнтны. Это заблуждение было приписано Льюису Кэрроллу.

. Дан треугольник △ ABC, докажите, что AB = AC:

1. Проведите линию пополам ∠A.
2. Проведите серединный перпендикуляр отрезка BC, который делит BC пополам в точке D.
3. Пусть эти две прямые пересекаются в точке O.
4. Нарисуйте линию OR перпендикулярно AB, прямую OQ перпендикулярно AC.
5. Нарисуйте линии OB и OC.
6. По AAS, RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
7. По RHS, △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (нога)).
8. Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

В качестве следствия можно показать, что все треугольники равносторонние, показав, что AB = BC и AC = BC таким же образом.

Ошибка доказательства заключается в предположении на диаграмме, что точка O находится внутри треугольника. Фактически, O всегда лежит в описанной окружности треугольника ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, в которых AO и OD совпадают). Более того, можно показать, что если AB длиннее, чем AC, то R будет лежать внутри AB, а Q будет лежать вне AC, и наоборот (фактически, любая диаграмма, нарисованная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два вышеупомянутых факта.). Из-за этого AB по-прежнему AR + RB, но AC на самом деле AQ — QC; и, следовательно, длины не обязательно одинаковы.

Доказательство по индукции

Существует несколько ошибочных доказательств по индукции, в которых один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, доказательства с помощью индукции работают, утверждая, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно в следующем, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета..

1. Допустим, что любая группа из N лошадей одного цвета.
2. Если мы удалим лошадь из группы, у нас есть группа из N — 1 лошадей одного цвета. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа из N лошадей. Согласно нашему предыдущему предположению, все лошади одного цвета в этой новой группе, так как это группа из N лошадей.
3. Таким образом, мы построили две группы из N лошадей одного цвета, с N — 1 общая лошадь. Поскольку у этих двух групп есть несколько общих лошадей, эти две группы должны быть одного цвета друг с другом.
4. Следовательно, объединяя всех используемых лошадей, мы получаем группу из N + 1 лошадей одного цвета..
5. Таким образом, если все N лошадей одного цвета, все N + 1 лошади одного цвета.
6. Это явно верно для N = 1 (т.е. одна лошадь — это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции N лошадей одного цвета для любого натурального числа N. т. Е. Все лошади одного цвета.

Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. При N = 1 две группы лошадей имеют N — 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно одного цвета, поэтому группа из N + 1 = 2 лошадей не обязательно будет всех одного цвета. Импликация «все N лошадей одного цвета, тогда N + 1 лошадей одного цвета» работает для любого N>1, но не выполняется, когда N = 1. Базовый случай верен, но шаг индукции имеет фундаментальный недостаток. Если бы нам дополнительно дали тот факт, что любые две лошади одного цвета, то мы могли бы правильно произвести индукцию из базового случая N = 2.

См. Также

• Аномальное исключение — арифметическая ошибка
• Деление на ноль — Результат, полученный при делении действительного числа на ноль
• Список неполных доказательств — Статья в Википедии со списком
• Математическое совпадение — совпадение в математике
• Парадокс — Утверждение, которое явно противоречит самому себе
• Доказательство запугиванием — Метод убедить кого-то, используя жаргон или заявляя его ясным

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Недействительными доказательствами.

Научные статьи на тему «Арифметическая погрешность (округления погрешность)»

Численные методы в инженерных задачах

Следует выделить следующие главные источники погрешностей:

Погрешности, связанные с постановкой задачи…
Погрешности округления, которые связаны с округлением значений начальных данных, промежуточных и конечных…
погрешности числа….
Для того чтобы оценить погрешности результатов арифметических операций, следует использовать существующие…
абсолютных погрешностей чисел.

Статья от экспертов

Ошибки усечения результатов арифметических операций с фиксированной точкой в алгоритмах быстрого преобразования Фурье

Рассматриваются ошибки вычисления быстрого преобразования Фурье (БПФ) с прореживанием по частоте в отсутствии масштабирования, обусловленные ограничением разрядности результатов арифметических операций умножения при обработке данных с фиксированной точкой в зависимости от размера преобразования, номера спектральной составляющей, а также от способа приведения результата к системной длине слова (усечение или округление данных). Получены аналитические выражения среднеквадратического значения ошибок вычисления БПФ белого гауссовского шума как при усечении, так и при округлении результатов операций умножения в алгоритме БПФ с прореживанием по частоте в отсутствии масштабирования. Показано, что в области низких частот для приближенной оценки уровня шумов, вызванных усечением разрядности результатов арифметических операций, можно использовать зависимость модуля математического ожидания ошибок усечения от номера спектрального отсчета. Поставлен математический эксперимент по вычислению погре…

Вычислительные методы в экономике

вычислений — погрешности округлений, именно поэтому реальные вычислительные алгоритмы требуют анализа…
Следует помнить, что вычислительные программы выполняют всего четыре ключевых арифметических операции…
Довольно долго исследователи не принимали во внимание погрешности округления при определении условий…
и критериев роста погрешности….
погрешности.

Статья от экспертов

Проектирование учебного процессора с фиксированной запятой в системе MATLAB/Simulink

В работах [1, 2] с использованием системы команд из работ [3, 4] показаны примеры проектирования микропроцессорных ядер для реализации в базисе ПЛИС фирмы Altera с использованием как мегафункций асинхронного ОЗУ/ПЗУ САПР Quartus II, так и функциональных блоков на языке VHDL, сгенерированных с помощью Simulink HDL Coder системы MATLAB/Simulink. Общим недостатком работ [1, 2] является отсутствие управляющего автомата. В данной статье предлагается на основе системы команд из работы [4] спроектировать в системе MATLAB/Simulink процессор с управляющим автоматом, позволяющим проводить вычисления с фиксированной зяпятой. Выполнение арифметических операций над операндами, представленными в формате с фиксированной запятой, дает возможность получать высокую скорость вычислений, но возможно переполнение разрядной сетки либо появление значительной погрешности из-за округления.