Классификация ошибок измерения
Любая
физическая величина может быть измерена
путем сравнения её с однородной величиной,
принятой за единицу (эталоном).
Измерения
бывают прямые и косвенные. В результате
прямых измерений определяемая физическая
величина получается сразу, непосредственно.
Примерами прямых измерений служат
определения длины (линейкой,
штангенциркулем), силы электрического
тока (амперметром). При косвенных
измерениях искомая величина вычисляется
по результатам прямых измерений других
величин, связанных с искомой некоторой
формулой.
Любое
измерение не может быть абсолютно
точным. Между истинным ХИСТ
и измеренным значением физической
величины Х
существует некоторая разность
ΔХ
= ½Х
– ХИСТ½,
(1.1)
которая
называется абсолютной ошибкой результата
измерения.
Чтобы
охарактеризовать качество измерения
и иметь возможность сравнить результаты
измерений различных физических величин,
вводится понятие относительной
погрешности, под которым подразумевают
отношение абсолютной ошибки измерения
к истинному значению измеряемой величины.
. (1.2)
Чем
меньше относительная погрешность, тем
выше точность измерения. Погрешности,
или ошибки измерения, можно разделить
на три класса: грубые ошибки, или промахи;
систематические ошибки; случайные
ошибки.
Грубые
ошибки появляются в результате
небрежности, невнимательности
экспериментатора (неправильные отсчеты
по прибору, неправильная запись результата
и т.п.). В большинстве случаев промахи
хорошо заметны, так как резко отличаются
от результатов других измерений.
Систематические
ошибки могут быть вызваны методикой
постановки эксперимента, ограниченной
точностью измерительных приборов,
дефектами самого объекта исследования
и т.д. Величина и знак систематической
погрешности могут оставаться неизменными
при многократном повторении одних и
тех же измерений. В некоторых случаях
влияние систематических погрешностей
на результат измерения можно учесть,
если ввести соответствующие поправки.
Случайные
ошибки обусловлены действием самых
разнообразных и неконтролируемых
причин. Поэтому результаты повторных
измерений одной и той же физической
величины могут не совпадать даже при
том, что они проводятся в неизменных
условиях одним и тем же методом (такие
измерения называют равноточными).
Случайные
ошибки могут иметь любую величину,
положительный или отрицательный знак.
Ошибки, противоположные по знаку, но
равные по абсолютной величине, встречаются
в среднем одинаково часто. Закономерности,
которым подчиняются случайные ошибки,
и способы их оценки изучают в разделе
математики «Теория ошибок», основанном
на законах теории вероятности и
математической статистики.
Методика расчета случайных ошибок прямых измерений
Пусть
измеряется n
раз некоторая физическая величина Х.
Из-за случайных погрешностей, возникающих
в процессе измерения, мы получаем набор
значений Х1,
Х2,
Х3,
…, Хn.
Наиболее близким к истинному значению
ХИСТ
будет среднее арифметическое
. (1.3)
Чем
больше измерений, тем ближе < X
> и ХИСТ,
а при
.
В
реальном эксперименте число измерений
всегда ограничено, поэтому истинное
значение измеряемой величины остается
неизвестным. Результаты отдельных
измерений Хi
и среднее арифметическое < X
> всегда содержат ошибку, поэтому
вместе с результатом измерений нужно
указать возможную величину ошибки, т.е.
представить результат в виде
.
Эта запись
равнозначна неравенству
.
(1.4)
Существует
несколько способов оценки случайной
ошибки DХ.
Мы рассмотрим один из них, наиболее
часто используемый при обработке
результатов эксперимента. По результатам
измерений рассчитывают так называемую
среднюю квадратическую ошибку среднего
арифметического:
.
(1.5)
Так
как результаты отдельных измерений Хi
и среднее арифметическое – случайные
величины, то и S<
Х >
тоже
случайная величина. Поэтому мы не можем
утверждать, например, что возможная
ошибка DХ
не превышает величины S<
Х >.
Следовательно, нужно не только рассчитать
возможную величину ошибки, но и указать
вероятность того, что среднее арифметическое
отличается от ХИСТ
не более чем на величину DХ,
т.е. вероятность, с которой выполняется
неравенство (1.4).
Область
значений
называется доверительным интервалом,
а соответствующая вероятность –
доверительнойα.
Доверительная вероятность является
весьма важной характеристикой измерений,
так как позволяет судить о надежности
полученного результата.
Для
нахождения доверительной вероятности
необходимо знать закон распределения
случайной величины (Хi;
< Х >; S<
Х >).
Наиболее часто встречается на практике
распределение Гаусса (нормальное
распределение):
.
Здесь
f(х) –
функция распределения случайной величины
Х.
Произведение f(х)
· dх равно
вероятности того, что случайная величина
примет значение, заключенное между Х
и Х
+ DХ.
Графически закон
Гаусса представлен на рис. 1.5.
Рис.
1.5
Кривая
Гаусса характеризуется двумя параметрами:
ХИСТ
и σ.
ХИСТ
определяет положение вершины, а σ
– ширину кривой (2
σ – расстояние
между точками перегиба). Параметр σ
называют стандартным отклонением или
средним квадратическим. Он определяет
разброс результатов измерений около
ХИСТ,
т.е. характеризует степень влияния
случайных погрешностей на результаты
измерений. На
рис. 1.5 показаны две гауссовы кривые для
разных значений стандартного отклонения
(σ
1 и σ
2). В
законе Гаусса σ
2 носит
название дисперсии случайной величины
(дисперсия – разброс).
Среднее
арифметическое, как случайная величина,
тоже описывается законом Гаусса с
параметрами
,
.
Среднее
значение является лучшей оценкой для
ХИСТ,
чем результат
отдельного измерения, так как кривая f
(< х >) в n
раз уже.
При
известном параметре σ
< Х >
доверительная вероятность:
.
Если
задать доверительный интервал
,
то
= 0,682; если
,
то
,
то
.
Указанные
значения доверительной вероятности
относятся к бесконечно большому числу
измерений. В практике физического
эксперимента N
часто не превышает 10, а параметр
неизвестен.
Если за
принять
,
то доверительная вероятность, рассчитанная
на основе закон Гаусса, оказывается
завышенной.
Существует
другой,
более строгий метод определения
доверительной вероятности, основанный
на распределении Стьюдента,
которое учитывает случайный характер
величины
.
Распределение Стьюдента не содержит
неизвестных параметровХИСТ,
и
существенно отличается от гауссового
при малом числе измерений (N
< 30).
В физическом лабораторном практикуме
обычно ставится такая задача: по заданной
доверительной вероятности нужно оценить
величину доверительного интервала.
На основе распределения Стьюдента
доверительный интервал
,
где
– коэффициент
Стьюдента.
Существуют
таблицы, в которых даны значения
коэффициента Стьюдента
для разных
значений доверительной вероятности и
различного числа измерений (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Погрешность средств измерения и результатов измерения.
Погрешности средств измерений – отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений).
Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от действительного (истинного) значения измеряемой величины.
Инструментальные и методические погрешности.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях. Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений. Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели.
Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета. Например, методическая погрешность возникает при измерениях падения напряжения на участке цепи с помощью вольтметра, так как из-за шунтирующего действия вольтметра измеряемое напряжение уменьшается. Механизм взаимного влияния может быть изучен, а погрешности рассчитаны и учтены.
Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемых средств измерений. Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы.
Статическая и динамическая погрешности.
- Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения, то есть при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей.
Статическая погрешность средства измерений возникает при измерении с его помощью постоянной величины. Если в паспорте на средства измерений указывают предельные погрешности измерений, определенные в статических условиях, то они не могут характеризовать точность его работы в динамических условиях. - Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. Динамическая погрешность появляется при измерении переменных величин и обусловлена инерционными свойствами средств измерений. Динамической погрешностью средства измерений является разность между погрешностью средсва измерений в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени. При разработке или проектировании средства измерений следует учитывать, что увеличение погрешности измерений и запаздывание появления выходного сигнала связаны с изменением условий.
Статические и динамические погрешности относятся к погрешностям результата измерений. В большей части приборов статическая и динамическая погрешности оказываются связаны между собой, поскольку соотношение между этими видами погрешностей зависит от характеристик прибора и характерного времени изменения величины.
Систематическая и случайная погрешности.
Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности являются в общем случае функцией измеряемой величины, влияющих величин (температуры, влажности, напряжения питания и пр.) и времени. В функции измеряемой величины систематические погрешности входят при поверке и аттестации образцовых приборов.
Причинами возникновения систематических составляющих погрешности измерения являются:
- отклонение параметров реального средства измерений от расчетных значений, предусмотренных схемой;
- неуравновешенность некоторых деталей средства измерений относительно их оси вращения, приводящая к дополнительному повороту за счет зазоров, имеющихся в механизме;
- упругая деформация деталей средства измерений, имеющих малую жесткость, приводящая к дополнительным перемещениям;
- погрешность градуировки или небольшой сдвиг шкалы;
- неточность подгонки шунта или добавочного сопротивления, неточность образцовой измерительной катушки сопротивления;
- неравномерный износ направляющих устройств для базирования измеряемых деталей;
- износ рабочих поверхностей, деталей средства измерений, с помощью которых осуществляется контакт звеньев механизма;
- усталостные измерения упругих свойств деталей, а также их естественное старение;
- неисправности средства измерений.
Случайной погрешностью называют составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности определяются совместным действием ряда причин: внутренними шумами элементов электронных схем, наводками на входные цепи средств измерений, пульсацией постоянного питающего напряжения, дискретностью счета.
Погрешности адекватности и градуировки.
Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.
Погрешностью адекватности модели называют погрешность при выборе функциональной зависимости. Характерным примером может служить построение линейной зависимости по данным, которые лучше описываются степенным рядом с малыми нелинейными членами.
Погрешность адекватности относится к измерениям для проверки модели. Если зависимость параметра состояния от уровней входного фактора задана при моделировании объекта достаточно точно, то погрешность адекватности оказывается минимальной. Эта погрешность может зависеть от динамического диапазона измерений, например, если однофакторная зависимость задана при моделировании параболой, то в небольшом диапазоне она будет мало отличаться от экспоненциальной зависимости. Если диапазон измерений увеличить, то погрешность адекватности сильно возрастет.
Абсолютная, относительная и приведенная погрешности.
Абсолютная погрешность – алгебраическая разность между номинальным и действительным значениями измеряемой величины. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина, в расчетах её принято обозначать греческой буквой – ∆. На рисунке ниже ∆X и ∆Y – абсолютные погрешности.
Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное. Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах, в расчетах обозначается буквой – δ.
Приведённая погрешность – погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле
где Xn – нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
– если шкала прибора односторонняя и нижний предел измерений равен нулю (например диапазон измерений 0…100), то Xn определяется равным верхнему пределу измерений (Xn=100);
– если шкала прибора односторонняя, нижний предел измерений больше нуля, то Xn определяется как разность между максимальным и минимальным значениями диапазона (для прибора с диапазоном измерений 30…100, Xn=Xmax-Xmin=100-30=70);
– если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора (диапазон измерений -50…+50, Xn=100).
Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
Аддитивные и мультипликативные погрешности.
- Аддитивной погрешностью называется погрешность, постоянную в каждой точке шкалы.
- Мультипликативной погрешностью называется погрешность, линейно возрастающую или убывающую с ростом измеряемой величины.
Различать аддитивные и мультипликативные погрешности легче всего по полосе погрешностей (см.рис.).
Если абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, то полоса определяется аддитивной погрешностью (а). Иногда аддитивную погрешность называют погрешностью нуля.
Если постоянной величиной является относительная погрешность, то полоса погрешностей меняется в пределах диапазона измерений и погрешность называется мультипликативной (б). Ярким примером аддитивной погрешности является погрешность квантования (оцифровки).
Класс точности измерений зависит от вида погрешностей. Рассмотрим класс точности измерений для аддитивной и мультипликативной погрешностей:
– для аддитивной погрешности:
аддитивная погрешность
где Х – верхний предел шкалы, ∆0 – абсолютная аддитивная погрешность.
– для мультипликативной погрешности:
мультипликативная погрешность
порог чувствительности прибора – это условие определяет порог чувствительности прибора (измерений).
Измерения. Классификация ошибок измерений
В физике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).
Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.
Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.
Различают прямые и косвенные методы измерений.
Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.
Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.
Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов все измерения можно производить только с известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее чем на 0,1 мг.
Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.
Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Точность измерений зависит от используемых при измерениях прибо- ров и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совершаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.
В результате i-го измерения (i – номер измерения) величины «Х”, получается приближенное число Хi, отличающееся от истинного значения Хист на некоторую величину ∆Хi = |Хi – Х|, которая является допущенной ошибкой или, другими словами, погрешностью. Истинная погрешность нам не известна, так как мы не знаем истинного значения измеряемой величины. Истинное значение измеряемой физической величины лежит в интервале
Хi – ∆Х < Хi – ∆Х < Хi + ∆Х
где Хi – значение величины Х, полученное при измерении (то есть измеренное значение); ∆Х – абсолютная погрешность определения величины Х.
Абсолютная ошибка (погрешность) измерения ∆Х – это абсолютная величина разности между истинным значением измеряемой величины Хист и результатом измерения Xi: ∆Х = |Хист – Xi|.
Относительная ошибка (погрешность) измерения δ (характеризующая точность измерения) численно равна отношению абсолютной погрешности измерения ∆Х к истинному значению измеряемой величины Хист (часто выражается в процентах): δ = (∆Х / Хист) • 100% .
Погрешности или ошибки измерений можно разделить на три класса: систематические, случайные и грубые (промахи).
Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно (согласно некоторой функциональной зависимости) изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, недостатков принятого метода измерений, каких-либо упущений экспериментатора, влияния внешних условий или дефекта самого объекта измерения.
В любом измерительном приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, то есть эти погрешности характеризуются постоянным знаком. Например, если при взвешивании одна из гирь имеет массу на 0,01 г большую, чем указано на ней, то найденное значение массы тела будет завышенным на эту величину, сколько бы измерений ни производилось. Иногда систематические ошибки можно учесть или устранить, иногда этого сделать нельзя. Например, к неустранимым ошибкам относятся ошибки приборов, о которых мы можем лишь сказать, что они не превышают определенной величины.
Случайными ошибками называют ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Появление случайных ошибок обусловлено действием многих разнообразных и неконтролируемых причин.
Например, при взвешивании весами этими причинами могут быть колебания воздуха, осевшие пылинки, разное трение в левом и правом подвесе чашек и др. Случайные ошибки проявляются в том, что, произведя измерения одной и той же величины Х в одинаковых условиях опыта, мы получаем несколько различающихся значений: Х1, Х2, Х3,…, Хi,…, Хn, где Хi – результат i-го измерения. Установить какую-либо закономерность между результатами не удается, поэтому результат i — го измерения Х считается случайной величиной. Случайные ошибки могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.
Промахи и грубые погрешности – чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями экспериментатора (например, из-за невнимательности вместо показания прибора «212» записывается совершенно другое число – «221»). Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.
Измерения могут быть проведены с точки зрения их точности техническим и лабораторным методами.
При использовании технических методов измерение проводится один раз. В этом случае удовлетворяются такой точностью, при которой погрешность не превышает некоторого определенного, заранее заданного значения, определяемого погрешностью примененной измерительной аппаратурой.
При лабораторных методах измерений требуется более точно указать значение измеряемой величины, чем это допускает ее однократное измерение техническим методом. В этом случае делают несколько измерений и вычисляют среднее арифметическое полученных значений, которое принимают за наиболее достоверное (истинное) значение измеряемой величины. Затем производят оценку точности результата измерений (учет случайных погрешностей).
Из возможности проведения измерений двумя методами вытекает и существование двух методов оценки точности измерений: технического и лабораторного.
Добавил: Basilio (28.08.2010) | Категория: Механика
Просмотров: 42058 | Загрузок: 0
| Рейтинг: 5.0/3 |
Теги: эксперимент, измерение, ошибка, классификация