Каким образом производится подсчет ошибки измерений - Oshibku.top - решение и исправление самых разных ошибок

Расчет погрешностей прямых измерений

Систематические
погрешности.
Систематические ошибки закономерным
образом изменяют значения измеряемой
величины. Наиболее просто поддаются
оценке погрешности, вносимые в
измерения
приборами, если они связаны с конструктивными
особенностями самих приборов. Эти
погрешности указываются в паспортах к
приборам. Погрешности некоторых приборов
можно оценить и не обращаясь к паспорту.
Для многих электроизмерительных приборов
непосредственно на шкале указан
их класс
точности.

Класс
точности прибора

– это отношение абсолютной погрешности
прибора

к максимальному значению измеряемой
величины
,
которое можно определить с помощью
данного прибора (это систематическая
относительная погрешность данного
прибора, выраженная в процентах от
номинала шкалы
).

Тогда
абсолютная погрешность

такого прибора определяется соотношением:

Для
электроизмерительных приборов введено
8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0;
2,5; 4.

Чем
ближе измеряемая величина к номиналу,
тем более точным будет результат
измерения. Максимальная точность (т.е.
наименьшая относительная ошибка),
которую может обеспечить данный прибор,
равна классу точности. Это обстоятельство
необходимо учитывать при использовании
многошкальных приборов. Шкалу надо
выбирать с таким расчетом, чтобы
измеряемая величина, оставаясь в пределах
шкалы, была как можно ближе к номиналу.

Если
класс точности для прибора не указан,
то необходимо руководствоваться
следующими правилами:

Абсолютная
погрешность приборов с нониусом равна
точности нониуса.
Абсолютная
погрешность приборов с фиксированным
шагом стрелки равна цене деления^¹.
Абсолютная
погрешность цифровых приборов равна
единице минимального разряда.
Для
всех остальных приборов абсолютная
погрешность принимается равной половине
цены деления.

Случайные
погрешности.
Эти погрешности имеют статистический
характер и описываются теорией
вероятности. Установлено, что при очень
большом количестве измерений вероятность
получить тот или иной результат в каждом
отдельном измерении можно определить
при помощи нормального распределения
Гаусса. При малом числе измерений
математическое описание вероятности
получения того или иного результата
измерения называется распределением
Стьюдента (более подробно об этом можно
прочитать в пособии Скворцовой И.Л.
«Ошибки измерений физических величин»).

Как
же оценить истинное значение измеряемой
величины?

Пусть
при измерении некоторой величины

мы получили N
результатов:
.
Среднее арифметическое серии измерений
ближе к истинному значению измеряемой
величины, чем большинство отдельных
измерений. Для получения результата
измерения некоторой величины

используется следующий алгоритм.

1).
Вычисляется
среднее арифметическое
серии из N
прямых измерений:

2).
Вычисляется абсолютная
случайная погрешность каждого измерения

– это разность между средним арифметическим
серии из N
прямых измерений и данным измерением:

3).
Вычисляется
средняя квадратичная абсолютная
погрешность
:

4).
Вычисляется
абсолютная
случайная погрешность
.
При
небольшом числе измерений абсолютную
случайную погрешность можно рассчитать
через среднюю квадратичную погрешность

и некоторый коэффициент
,
называемый коэффициентом Стъюдента:

Коэффициент
Стьюдента зависит от числа измерений
N
и коэффициента надежности

(в таблице 1 отражена зависимость
коэффициента Стьюдента от числа измерений
при фиксированном значении коэффициента
надежности
).

Коэффициент
надежности

– это вероятность, с которой истинное
значение
измеряемой величины попадает в
доверительный интервал.

Доверительный
интервал

– это числовой интервал, в который с
определенной вероятностью попадает
истинное значение измеряемой величины.

Таким
образом, коэффициент Стъюдента – это
число, на которое нужно умножить среднюю
квадратичную погрешность, чтобы при
данном числе измерений обеспечить
заданную надежность результата.

Чем
большую надежность необходимо обеспечить
для данного числа измерений, тем больше
коэффициент Стъюдента. С другой стороны,
чем больше число измерений, тем меньше
коэффициент Стъюдента при данной
надежности. В лабораторных работах
нашего практикума будем считать
надежность заданной и равной 0,9. Числовые
значения коэффициентов Стъюдента при
этой надежности для разного числа
измерений приведены в таблице 1.

Таблица
1

Число измерений N	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	…
Коэффициент Стъюдента	6,3	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,9	1,9	1,8	1,8	1,8	1,8

5).
Вычисляется
полная абсолютная погрешность.
При любых измерениях существуют и
случайные и систематические погрешности.
Расчет общей (полной) абсолютной
погрешности измерения дело непростое,
так как эти погрешности разной природы.

Для
инженерных измерений имеет смысл
суммировать систематическую и случайную
абсолютные погрешности

Для
простоты расчетов принято оценивать
полную абсолютную погрешность как сумму
абсолютной случайной и абсолютной
систематической (приборной) погрешностей,
если погрешности одного порядка величины,
и пренебрегать одной из погрешностей,
если она более
чем
на порядок (в 10 раз) меньше другой.

6).
Округляется погрешность и результат.
Поскольку результат измерений
представляется в виде интервала значений,
величину которого определяет полная
абсолютная погрешность, важное значение
имеет правильное округление результата
и погрешности.

Округление
начинают с абсолютной погрешности!!!
Число значащих цифр, которое оставляют
в значении погрешности, вообще говоря,
зависит от коэффициента надежности и
числа измерений. Однако даже для очень
точных измерений (например, астрономических),
в которых точное значение погрешности
важно, не оставляют более двух значащих
цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла,
так как определение погрешности само
имеет свою погрешность. В
нашем практикуме сравнительно небольшой
коэффициент надежности

и малое число измерений. Поэтому при
округлении (с избытком) полной абсолютной
погрешности оставляют одну значащую
цифру.

Разряд
значащей цифры абсолоютной погрешности
определяет разряд первой сомнительной
цифры в
значении
результата. Следовательно, само значение
результата нужно округлять (с поправкой)
до той значащей цифры, разряд которой
совпадает с разрядом значащей цифры
погрешности.
Сформулированное правило следует
применять и в тех случаях, когда некоторые
из цифр являются нулями.

Пример.

Если
при измерении массы тела получен
результат
,
то писать нули в конце числа 0,900 необходимо.
Запись

означала бы, что о следующих значащих
цифрах ничего не известно, в то время
как измерения показали, что они равны
нулю.

7).
Вычисляется
относительная
погрешность
.

При
округлении относительной погрешности
достаточно оставить две значащие цифры.

результат
серии измерений некоторой физической
величины представляют в виде интервала
значений с указанием вероятности
попадания истинного значения в данный
интервал, то
есть результат необходимо записать в
виде:

; ; .

Здесь

– полная, округленная до первой значащей
цифры, абсолютная погрешность и

– округленное с учетом уже округленной
погрешности среднее значение измеряемой
величины. При
записи результата измерений обязательно
нужно указать единицу измерения величины.

Рассмотрим
несколько примеров:

Пусть
при измерении длины отрезка мы получили
следующий результат:

см и

см. Как грамотно записать результат
измерений длины отрезка? Сначала
округляем с избытком абсолютную
погрешность, оставляя одну значащую
цифру

см. Значащая цифра погрешности в разряде
сотых. Затем округляем с поправкой
среднее значение с точностью до сотых,
т.е. до той значащей цифры, разряд которой
совпадает с разрядом значащей цифры
погрешности

см. Вычисляем относительную погрешность

Результат
измерений записываем так:

см;
; .

Пусть
при расчете сопротивления проводника
мы получили следующий результат:

и
.
Сначала округляем абсолютную погрешность,
оставляя одну значащую цифру
.
Затем округляем среднее значение с
точностью до целых
.
Вычисляем относительную погрешность

Результат
измерений записываем так:

;
; .

Пусть
при расчете массы груза мы получили
следующий результат:

кг и

кг. Сначала округляем абсолютную
погрешность, оставляя одну значащую
цифру

кг. Затем округляем среднее значение
с точностью до десятков

кг. Вычисляем относительную погрешность

Результат
измерений массы груза записываем так:

кг; ; .

Из
приведенных примеров видно, что округление
абсолютной погрешности производится
до первой значащей цифры в сторону
увеличения (с избытком). Среднее значение
измеряемой величины округляется с
поправкой до той значащей цифры, разряд
которой совпадает с разрядом значащей
цифры погрешности. При округлении
относительной погрешности оставляем
две значащие цифры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Загрузить PDF

При измерении чего-либо можно предположить, что есть некоторое «истинное значение», которое лежит в пределах диапазона значений, которые вы нашли. Для расчета более точной величины нужно взять результат измерения и оценить его при прибавлении или вычитании погрешности. Если вы хотите научиться находить такую погрешность, выполните следующие действия.

1
Выражайте погрешность правильно. Допустим, при измерении палки ее длина равна 4,2 см плюс-минус один миллиметр. Это означает, что палка примерно равна 4,2 см, но на самом деле может быть немного меньше или больше этого значения — с погрешностью до одного миллиметра.
- Запишите погрешность как: 4,2 см ± 0,1 см. Вы также можете переписать это как 4,2 см ± 1 мм, так как 0,1 см = 1 мм.
2
Всегда округляйте значения измерений до того же знака после запятой, что и в погрешности. Результаты измерений, которые учитывают погрешность, как правило, округляются до одной или двух значащих цифр. Наиболее важным моментом является то, что нужно округлить результаты до того же знака после запятой, что и в погрешности, чтобы сохранить соответствие.
- Если результат измерения 60 см, то и погрешность следует округлять до целого числа. Например, погрешность этого измерения может быть 60 см ± 2 см, но не 60 см ± 2,2 см.
- Если результат измерения 3,4 см, то погрешность округляется до 0,1 см. Например, погрешность этого измерения может быть 3,4 см ± 0,7 см, но не 3,4 см ± 1 см.
3
Найдите погрешность. Допустим, вы измеряете линейкой диаметр круглого шара. Это сложно, так как из-за кривизны шара будет трудно померить расстояние между двумя противоположными точками на его поверхности. Скажем, линейка может дать результат с точностью до 0,1 см, но это не значит, что вы можете измерить диаметр с той же точностью.^[1]
- Изучите шар и линейку, чтобы получить представление о том, с какой точностью вы можете измерить диаметр. У стандартной линейки четко видна разметка по 0,5 см, но, возможно, вы сможете измерить диаметр с большей точностью, чем эта. Если вы думаете, что сможете измерить диаметр с точностью до 0,3 см, то погрешность в этом случае равна 0,3 см.
- Измерим диаметр шара. Допустим, вы получили результат около 7,6 см. Просто укажите результат измерения вместе с погрешностью. Диаметр шара составляет 7,6 см ± 0,3 см.
4
Рассчитайте погрешность измерения одного предмета из нескольких. Скажем, вам даны 10 компакт-дисков (CD), при этом размеры каждого одинаковы. Допустим, вы хотите найти толщину всего одного CD. Эта величина настолько мала, что погрешность практически невозможно вычислить. Тем не менее, чтобы вычислить толщину (и ее погрешность) одного CD, вы можете просто разделить результат измерения (и его погрешность) толщины всех 10 CD, сложенных вместе (один на другого), на общее количество CD.^[2]
- Допустим, что точность измерения стопки CD с помощью линейки 0,2 см. Итак, ваша погрешность ± 0,2 см.
- Допустим, толщина всех CD равна 22 см.
- Теперь разделим результат измерения и погрешность на 10 (число всех CD). 22 см/10 = 2,2 см и 0,2 см/10 = 0,02 см. Это означает, что толщина одного компакт-диска 2,20 см ± 0,02 см.
5

Измерьте несколько раз. Для повышения точности измерений, будь то измерение длины или времени, замерьте искомую величину несколько раз. Вычисление среднего значения из полученных значений увеличит точность измерения и расчета погрешности.

Реклама

1
Проведите несколько измерений. Допустим, вы хотите найти, сколько времени падает мяч с высоты стола. Чтобы получить наилучшие результаты, измерьте время падения насколько раз, например, пять. Потом нужно найти среднее значение из пяти полученных значений измерений времени, а затем для наилучшего результата добавить или вычесть среднеквадратичное отклонение.^[3]
- Допустим, в результате пяти измерений получены результаты: 0,43 с, 0,52 с, 0,35 с, 0,29 с и 0,49 с .
2

Найдите среднее арифметическое. Теперь найдите среднее арифметическое путем суммирования пяти различных результатов измерений и разделив результат на 5 (количество измерений). 0,43 + 0,52 + 0,35 + 0,29 + 0,49 = 2,08 с. 2,08 / 5 = 0,42 с. Среднее время 0,42 с.
3
Найдите дисперсию полученных значений. Для этого, во-первых, найдите разницу между каждой из пяти величин и средним арифметическим. Чтобы сделать это, вычтите из каждого результата 0,42 с.^[4]
- - 0,43 с — 0,42 с = 0,01 с
  - 0,52 с — 0,42 с = 0,1 с
  - 0,35 с — 0,42 с = -0,07 с
  - 0,29 с — 0,42 с = -0,13 с
  - 0,49 с — 0,42 с = 0,07 с
  - Теперь сложите квадраты этих разниц: (0,01) ² + (0,1) ² + (-0,07) ² + (-0,13) ² + (0,07) ² = 0,037 с.
  - Найти среднее арифметическое этой суммы можно, разделив ее на 5: 0,037 / 5 = 0,0074 с.
4

Найдите среднеквадратичное отклонение. Чтобы найти среднеквадратичное отклонение, просто возьмите квадратный корень из среднего арифметического суммы квадратов. Квадратный корень из 0,0074 = 0,09 с, так что среднеквадратичное отклонение равно 0,09 с.^[5]
5

Запишите окончательный ответ. Чтобы сделать это, запишите среднее значение всех измерений плюс-минус среднеквадратичное отклонение. Поскольку среднее значение всех измерений равно 0,42 с, а среднеквадратичное отклонение 0,09 с, то окончательный ответ 0,42 с ± 0,09 с.

Реклама

1
Сложение. Чтобы сложить величины с погрешностями, сложите отдельно величины и отдельно погрешности.^[6]
- (5 см ± 0,2 см) + (3 см ± 0,1 см) =
- (5 см + 3 см) ± (0,2 см + 0,1 см) =
- 8 см ± 0,3 см
2
Вычитание. Чтобы вычесть величины с погрешностями, вычтите величины и сложите погрешности.^[7]
- (10 см ± 0,4 см) — (3 см ± 0,2 см) =
- (10 см — 3 см) ± (0,4 см + 0,2 см) =
- 7 см ± 0,6 см
3
Умножение. Чтобы умножить величины с погрешностями, перемножьте величины и сложите ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ погрешности (в процентах).^[8] Рассчитать можно только относительную погрешность, а не абсолютную, как и в случае со сложением и вычитанием. Чтобы узнать относительную погрешность, разделите абсолютную погрешность на измеренное значение, затем умножьте на 100, чтобы выразить результат в процентах. Например:
- (6 см ± 0,2 см) = (0,2 / 6) x 100 — добавив знак процента, получаем 3,3 %.
  Следовательно:
- (6 см ± 0,2 см) х (4 см ± 0,3 см) = (6 см ± 3,3 % ) x (4 см ± 7,5 %)
- (6 см x 4 см) ± (3,3 + 7,5) =
- 24 см ± 10,8 % = 24 см ± 2,6 см
4
Деление. Чтобы разделить величины с погрешностями, разделите величины и сложите ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ погрешности.^[9]
- (10 см ± 0,6 см) ÷ (5 см ± 0,2 см) = (10 см ± 6 %) ÷ (5 см ± 4 %)
- (10 см ÷ 5 см) ± (6 % + 4 %) =
- 2 см ± 10 % = 2 см ± 0,2 см
5
Возведение в степень. Для того, чтобы возвести в степень величину с погрешностью, возведите величину в степень, а относительную погрешность умножьте на степень.^[10]
- (2,0 см ± 1,0 см)³ =
- (2,0 см)³ ± (50 %) x 3 =
- 8,0 см³ ± 150 % или 8,0 см³ ±12 см³
Реклама

Советы

Вы можете дать погрешность как для общего результата всех измерений, так и для каждого результата одного измерения в отдельности. Как правило, данные, полученные из нескольких измерений, менее достоверны, чем данные, полученные непосредственно из отдельных измерений.

Предупреждения

Точные науки никогда не работают с «истинными» величинами. Хотя правильное измерение, скорее всего, даст величину в пределах погрешности, нет никакой гарантии, что это будет так. Научные измерения допускают возможность ошибок.
Погрешности, описанные здесь, применимы только для случаев нормального распределения (распределения Гаусса). Другие распределения вероятностей требуют других решений.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 107 086 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2248.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2248.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.