Определение ошибки выборки для средней доли

На основании выборочных данных дается оценка статистических
показателей по всей (генеральной) совокупности. Подобное возможно, если выборка
основывается на принципах случайности отбора и репрезентативности
(представительности) выборочных данных. Каждая единица генеральной совокупности
должна иметь равную возможность (вероятность) попасть в выборку.

При формировании выборочной совокупности используются следующие
способы отбора: а) собственно-случайный отбор; б) механическая выборка; в)
типический (районированный) отбор; г) многоступенчатая (комбинированная)
выборка; д) моментно-выборочное наблюдение.

Выборка может осуществляться по схеме повторного и бесповторного
отбора.

В первом случае единицы совокупности, попавшие в выборку, снова
возвращаются в генеральную, а во втором случае – единицы совокупности, попавшие
в выборку, в генеральную совокупность уже не возвращаются.

Выборка может осуществляться отдельными единицами или сериями
(гнездами).

Собственно-случайная выборка

Отбор в этом случае производится либо по жребию, либо по таблицам
случайных чисел.

На основании приемов классической выборки решаются следующие
задачи:

а) определяются границы среднего значения показателя по генеральной
совокупности;

б) определяются границы доли признака по генеральной совокупности.

Предельная ошибка средней при собственно-случайном отборе
исчисляется по формулам:

а) при повторном отборе:

б) при бесповторном отборе:

где

 – численность выборочной совокупности;

 – численность генеральной совокупности;

 – дисперсия признака;

 – критерий кратности ошибки: при

;
при

;
при

.

Значения

 
определяются

по таблице функции Лапласа.

Границы (пределы) среднего значения признака по генеральной
совокупности определяются следующим неравенством:

где

 – среднее значение признака по выборочной
совокупности.

Предельная ошибка доли при собственно-случайном отборе определяется
по формулам:

а) при повторном отборе:

при бесповторном отборе:

где

 – доля единиц совокупности с заданным
значением признака в обзей численности выборки,

 – дисперсия доли признака.

Границы (пределы) доли признака по всей (генеральной) совокупности
определяются неравенством:

где

 – доля признака по генеральной совокупности.

Типическая (районированная) выборка

Особенность этого вида
выборки заключается в том, что предварительно генеральная совокупность по
признаку типизации разбивается на частные группы (типы, районы), а затем в
пределах этих групп производится выборка.

Предельная ошибка средней
при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:

где

 – средняя из внутригрупповых дисперсий

 по каждой типичной группе.

При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности
средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

где

 – численности единиц совокупности групп по выборке.

Границы (пределы) средней по генеральной совокупности на основании
данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что при
собственно-случайной выборке. Только предварительно необходимо вычислить общую
выборочную среднюю

 из частных выборочных средних

.
Для случая пропорционального отбора это определяется по формуле:

При непропорциональном отборе средняя из  внутригрупповых дисперсий вычисляется по
формуле:

где

 – численность единиц групп по генеральной
совокупности.

Общая выборочная средняя в этом случае определяется по формуле:

Предельная ошибка доли
признака при типическом бесповторном отборе определяется формулой:

Средняя дисперсия доли
признака из групповых дисперсий доли

 при
типической пропорциональной выборке вычисляется по формуле:

Средняя доля признака по
выборке из показателей групповых долей рассчитывается формуле:

Средняя дисперсия доли при
непропорциональном типическом отборе определяется следующим образом:

а средняя доля признака:

Формулы ошибок выборки при типическом повторном отборе будут те же,
то и для случая бесповторного отбора. Отличие заключается только в том, что в
них будет отсутствовать по корнем сомножитель

.

Серийная выборка

Серийная ошибка выборки
может применяться в двух вариантах:

а) объем серий различный

б) все серии имеют
одинаковое число единиц (равновеликие серии).

Наиболее распространенной
в практике статистических исследований является серийная выборка с
равновеликими сериями. Генеральная совокупность делится на одинаковые по объему
группы-серии

 и
производится отбор не единиц совокупности, а серий

. Группы (серии) для обследования отбирают в
случайном порядке или путем механической выборки как повторным, так и
бесповторными способами. Внутри каждой отобранной серии осуществляется сплошное
наблюдение. Предельные ошибки выборки

 при
серийном отборе исчисляются по формулам:

а) при повторном отборе

б) при бесповторном отборе

где

 – число
серий в генеральной совокупности;

 – число
отобранных серий;

 – межсерийная дисперсия, исчисляемая для случая равновеликих
серий по формуле:

где

 –
среднее значение признака в каждой из отобранных серий;

 – межсерийная
средняя, исчисляемая для случая равновеликих серий по формуле:

Определение численности выборочной совокупности

При проектировании
выборочного наблюдения важно наряду с организационными вопросами решить одну из
основных постановочных задач: какова должна быть необходимая численность
выборки с тем, чтобы с заданной степенью точности (вероятности) заранее
установленная ошибка выборки не была бы превзойдена.

Задача 1

На основании результатов проведенного на заводе 5%
выборочного наблюдения (отбор случайный, бесповторный) получен следующий ряд
распределения рабочих по заработной плате:

На основании приведенных данных определите:

1) с вероятностью 0,954 (t=2) возможные пределы, в которых
ожидается средняя заработная плата рабочего в целом по заводу (по генеральной
совокупности);

2) с вероятностью 0,997 (t=3) предельную ошибку и границы доли
рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше.

Решение

Вычислим среднюю з/п: Для этого просуммируем произведения середин
интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму
частот.

2) Выборочная дисперсия:

Найдем доверительный интервал для средней. Предельная ошибка выборочной
средней считается по формуле:

где

 —

аргумент функции Лапласа.  

Искомые возможные пределы, в которых ожидается средняя заработная плата
рабочего в целом по заводу:

Найдем доверительный интервал для выборочной доли. Предельная ошибка
выборочной доли считается по формуле:

Доля рабочих с з/п от 320 тыс.р.:

Искомые границы доли рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше:

Задача 2

В
городе 23560 семей. В порядке механической выборки предполагается определить
количество семей в городе с числом детей трое и более. Какова должна быть
численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала
0,02 человека. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна
0,3.

Решение

Численность
выборки можно найти по формуле:

В нашем случае:

Вывод к задаче

Таким образом численность
выборки должна составить 2661 чел.

Задача 3

С
целью определения средней месячной заработной платы персонала фирмы было
проведено 25%-ное выборочное обследование с отбором
единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников
внутри каждого филиала использовался механический отбор. Результаты
обследования представлены в следующей таблице:

С
вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной заработной платы всех
сотрудников гостиниц.

Решение

Предельная
ошибка выборочной средней:

Средняя
из внутригрупповых дисперсий:

Получаем:

Средняя
месячная заработная плата по всей совокупности филиалов:

Искомые
пределы средней месячной заработной платы:

Вывод к задаче

Таким
образом с вероятностью 0,954 средняя месячная заработная плата всех сотрудников
гостиниц находится в пределах от 1294,3 руб. до 1325,7 руб.

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки: 

μ – средняя ошибка выборки, рассчитанная с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора;

t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности. Так для Р=0,997 по таблице значений интегральной функции Лапласа t=3

Величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью. Вероятность появления такой ошибки, равной или больше утроенной средней ошибки выборки, крайне мала и равна 0,003 (1–0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки, определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3%.

Определение предельной ошибки выборки для доли

Условие:

Из готовой продукции, в порядке собственно-случайного бесповторного отбора, было отобрано 200 ц, из которых 8 ц оказалось испорчено. Можно ли полагать с вероятностью 0,954, что потери продукции не превысят 5%, если выборка составляет 1:20 часть ее размера?

Дано:

• n =200ц – объем выборки (выборочная совокупность)
• m =8ц  —  кол-во испорченной продукции
• n:N = 1:20 – пропорция отбора, где N- объем совокупности (генеральная совокупность)
• Р = 0,954 – вероятность

Определить: ∆_ω< 5% (согласуется ли то, что потери продукции не превысят 5%)

Решение:

1. Определим выборочную долю-такую долю составляет испорченная продукция в выборочной совокупности:

2. Определим объем генеральной совокупности:

N=n*20=200*20=4000(ц) – количество всей продукции.                                           

3. Определим предельную ошибку выборки для доли продукции, обладающей соответствующим признаком, т.е. для доли испорченной продукции: Δ = t*μ,  где µ– средняя ошибка доли, обладающей альтернативным признаком, с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора; t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности Р=0,954 по таблице значений интегральной функции Лапласа: t=2

4. Определим границы доверительного интервала для доли альтернативного признака в генеральной совокупности, т.е. какую долю испорченная продукция составит в общем объеме: поскольку доля испорченной продукции в выборочном объеме составляет ω = 0,04, то с учетом предельной ошибки ∆_ω= 0,027 генеральная доля альтернативного признака (p) примет значения:

 ω-∆_ω < p < ω+∆_ω

  0.04-0.027< p < 0.04+0.027

0.013 < p < 0.067

Вывод: с вероятностью Р=0,954 можно утверждать, что доля испорченной продукции при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала (не менее 1,3% и не более 6,7%). Но остается вероятность того, что доля испорченной продукции может превысить 5% в пределах до 6,7%, что, в свою очередь, не согласуется с утверждением  ∆_ω< 5%.

*******

Условие:

Менеджер магазина по опыту знает, что 25% входящих в магазин покупателей, совершают покупки. Предположим, что в магазин вошло 200 покупателей.

Определить:

1. долю покупателей, совершивших покупки
2. дисперсию выборочной доли
3. среднее квадратическое отклонение выборочной доли
4. вероятность того, что выборочная доля будет в пределах между 0,25 и 0,30

Решение:

В качестве генеральной доли (p) принимаем выборочную долю (ω) и определяем верхнюю границу доверительного интервала.
Зная критическую точку (по условию: выборочная доля будет в пределах 0,25-0,30), строим одностороннюю критическую область (правостороннюю).
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим Z
Этот же вариант можно рассматривать и как повторный отбор при условии, если один и тот же покупатель, не купив в 1-й раз, возвращается и совершает покупку.

В случае, если выборку рассматривать как бесповторную, необходимо среднюю ошибку скорректировать на поправочный коэффициент. Тогда, подставив скоррекированные значения предельной ошибки для выборочной доли, при определении критической области, изменятся Z и P

Определение предельной ошибки выборки для средней

По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 260 человек, среднемесячная заработная плата составила 360 у.е., при s=76 у.е. Какая минимальная сумма должна быть положена на счет фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Дано:

• n=17 — объем выборки (выборочная совокупность)
• N=260 — объем совокупности (генеральная совокупность)
• Х_ср.=360 — выборочная средняя
• S=76 — выборочное среднеквадратическое отклонение
• Р = 0,98 –  доверительная вероятность

Определить: минимально допустимое значение генеральной средней (нижнюю границу доверительного интервала).

Решение:

Для определения доверительного интервала для средней, необходимо найти предельную ошибку для средней: при Р=0,98 по таблице значений интегральной функции Лапласа — t=2.33

Из условия определения границ доверительного интервала для средней:

Хср.-Δх≤Х≤ Хср.+Δх определяем нижнюю границу (левосторонняя критическая область): 360-41,52=318,48

Отсюда: 318,48*260=82804,7 у.е. — такова минимальная сумма, которая должна быть положена на счет фирмы.