Лекция 17.
Расчет
установившейся ошибки в системах
управления. Структурные признаки
астатизма. Коэффициенты ошибок
Установившейся
(статической) ошибкой называют постоянное
значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании
переходного процесса:
,
рисунок 116.
Очевидно,
установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик
входных сигналов системы. Поэтому при
ее определении принято рассматривать
так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют
степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:
,
,
и так далее.
При наличии
нескольких воздействий на линейную
систему для определения xуст
используется принцип суперпозиции –
реакция линейной системы на совокупность
входных сигналов совпадает с алгебраической
суммой ее реакций на каждый из сигналов
в отдельности:
,
где каждое слагаемое,
или составляющая сигнала ошибки,
определяется
для i-го
входного сигнала при условии, что
остальные тождественно равны нулю.
Такой подход полностью соответствует
определению передаточной функции и
позволяет выполнять расчет установившейся
ошибки на основе структурной схемы
системы.
Рассмотрим порядок
расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере
(рисунок 117).
В соответствии с
принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде
суммы трех составляющих
.
Изображение по
Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке
при известном изображении задающего
воздействия G(s):
,
где (s)
– основная передаточная функция
замкнутой системы. Для структурной
схемы на рисунке 117
,
где
— передаточная функция разомкнутой
системы, или прямой цепи системы, для
рассматриваемого примера.
Непосредственно
для расчета установившегося значения
ошибки от задающего воздействия
используют теорему о конечном значении
для преобразования Лапласа:
В результате:
.
Изображение по
Лапласу ошибки от возмущающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке от возмущения
при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):
,
где f(s)
–передаточная функция замкнутой системы
по возмущающему воздействию,
;
Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой
системы по возмущению (передаточная
функция участка прямой цепи системы от
точки приложения возмущающего воздействия
до выхода системы).
Для структурной
схемы на рисунке 8 необходимо учитывать
два возмущающих воздействия, приложенные
в различные точки системы.
Для f1:
,
,
.
Для f2:
,
,
.
Расчет упрощается
для системы с единичной отрицательной
обратной связью (рисунок 118):
,
,
где k=k1k2k3
– коэффициент передачи разомкнутой
системы.
Найдем установившуюся
ошибку для некоторых типовых вариантов
задающего воздействия.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
Если установившаяся
ошибка тождественно равна нулю при
каком-либо типовом варианте входного
сигнала, независимо от его численных
характеристик, систему называют
астатической по рассматриваемому
входному сигналу.
Количество типовых
вариантов входного сигнала – членов
степенного ряда, при которых установившаяся
ошибка тождественно равна нулю, определяет
порядок астатизма.
Рассматриваемая
система обладает свойством астатизма
второго порядка по задающему воздействию.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f1:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f1.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим тот же результат.
Отметим, что по
возмущению f1
рассматриваемая система не является
астатической. Кроме того, она не в
состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f2:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f2.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
По возмущению f2
рассматриваемая система имеет астатизм
первого порядка. Она не в состоянии
отработать возмущающее воздействие,
изменяющееся во времени с постоянным
ускорением.
Подведем некоторые
итоги:
1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки
приложения входного сигнала.
2. Постоянные
времени звеньев системы не влияют на
ее точность.
3. Увеличение
значения коэффициента передачи
разомкнутой системы приводит к снижению
величины установившейся ошибки.
Для систем с
единичной отрицательной обратной связью
существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.
Рассмотрим
структуру, показанную на рисунке 119.
В общем случае
передаточная функция разомкнутой
системы может быть представлена в
следующей форме:
,
где l0.
Тогда получим:
и для общего вида
задающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Результат нахождения
этого предела зависит от соотношения
показателей степени:
— при l>v
установившаяся ошибка равна нулю
независимо от остальных параметров, то
есть имеет место астатизм;
— при l=v
получаем константу;
— при l<v
установившаяся ошибка стремится к
бесконечности, то есть система не в
состоянии отработать входной сигнал.
Учитывая, что
минимальное значение v
нулевое, получаем условие астатизма по
задающему воздействию: l>0.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
задающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
разомкнутой системы, или интегрирующих
звеньев в прямой цепи системы.
Нетрудно также
убедиться, что положительное значение
l
совпадает с порядком астатизма.
Для получения
признака астатизма по возмущающему
воздействию представим передаточные
функции на рисунке 10 в форме:
,
,
где l1+l2=l,
k1k2=k,
m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем
и
.
Тогда получим:
и для общего вида
возмущающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Все вышеприведенные
выводы можно повторить для показателя
степени l1.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
возмущающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
участка системы до точки приложения
воздействия, или интегрирующих звеньев
на том же участке.
Более общий подход
к оценке точности линейных систем
управления основан на получении и
использовании коэффициентов ошибок.
Рассмотрим его на примере анализа
реакции системы на задающее воздействие.
Если рассматривать
произвольный закон изменения задающего
воздействия g(t),
то эта функция времени может быть
разложена в степенной ряд относительно
аргумента t.
Члены степенного ряда, как известно,
находятся через производные
,
,
…,
,
…
В общем случае ряд
бесконечен. Поэтому с практической
точки зрения рассматривать такое
представление сигнала целесообразно
только при достаточно плавном его
изменении, когда можно ограничиться
конечным числом членов ряда, имея в
виду, что при n
большем некоторого m
можно принять
,
n>m.
Для задачи оценки
установившейся ошибки при
с формулированное допущение вполне
корректно, так как в противном случае
эта задача не имеет смысла.
Коэффициенты
ошибки получают разложением передаточной
функции замкнутой системы по ошибке в
степенной ряд (ряд Тейлора) относительно
аргумента s:
,
где коэффициенты
разложения в общем случае находят как
значения производных в точке s=0:
.
Передаточные
функции, представляющие собой отношения
полиномов, при достаточно высоком
порядке системы могут оказаться слишком
сложными для дифференцирования. Поэтому
на практике коэффициенты их разложения
в ряд чаще находят путем деления полиномов
– числителя на знаменатель.
С учетом разложения
передаточной функции в ряд можно записать
изображение по Лапласу сигнала ошибки
в следующей форме:
.
Отметим, что с
учетом сформулированного выше допущения
такое представление сигнала ошибки
соответствует
или
.
Перейдя к оригиналу
с учетом теоремы дифференцирования
получим:
.
Вернемся к
рассмотренному выше примеру и предположим,
что задающее воздействие изменяется
по произвольному закону, но при достаточно
больших значениях времени этот закон
аппроксимируется выражением
.
Найдем коэффициенты
разложения передаточной функции по
ошибке
в степенной ряд.
Здесь сразу можно
отметить, что номер первого ненулевого
члена ряда определяется низшей степенью
аргумента s
в числителе дроби, то есть первые два
коэффициента c0
и c1
здесь получаем тождественно равными
нулю.
Далее получим:
В результате
получаем
,
,
,
и так далее.
Найдем производные
задающего воздействия:
,
,
.
Ясно, что для
определения установившейся ошибки
достаточно первых трех коэффициентов:
.
В заключение
отметим, что порядок астатизма системы
по какому-либо входному сигналу совпадает
с количеством нулевых коэффициентов
ошибки, получаемых в разложении в ряд
передаточной функции по ошибке от
данного входного сигнала.
Соседние файлы в папке Конспект ТАУ
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Лекция 17. Расчет установившейся ошибки в системах управления.
Структурные признаки астатизма
Установившейся (статической) ошибкой называют
постоянное значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании переходного процесса: 
, рисунок 116.
Очевидно, установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик входных сигналов системы. Поэтому при ее
определении принято рассматривать так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:
, 
, 
и так
далее.
При наличии нескольких воздействий на линейную систему
для определения xуст используется
принцип суперпозиции – реакция линейной системы на совокупность входных
сигналов совпадает с алгебраической суммой ее реакций на каждый из сигналов в
отдельности:
, где
каждое слагаемое, или составляющая сигнала ошибки, 
определяется
для i-го входного сигнала при условии, что остальные
тождественно равны нулю. Такой подход полностью соответствует определению
передаточной функции и позволяет выполнять расчет установившейся ошибки на
основе структурной схемы системы.
Рассмотрим порядок расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере (рисунок 117).
В соответствии с принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде суммы трех составляющих 
.
Изображение по Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке 
при известном изображении задающего
воздействия G(s):
, где
F(s) – основная передаточная функция замкнутой системы.
Для структурной схемы на рисунке 117
, где 
— передаточная функция
разомкнутой системы, или прямой цепи системы, для рассматриваемого примера.
Непосредственно для расчета
установившегося значения ошибки от задающего воздействия используют теорему о
конечном значении для преобразования Лапласа:
В результате:
.
Изображение по Лапласу ошибки от возмущающего
воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от
возмущения 
при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):
, где
Ff(s) –передаточная функция замкнутой системы по
возмущающему воздействию,
;
Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (передаточная функция
участка прямой цепи системы от точки приложения возмущающего воздействия до
выхода системы).
Для структурной схемы на рисунке 8 необходимо
учитывать два возмущающих воздействия, приложенные в различные точки системы.
Для f1:
,
,
.
Для f2:
,
,
.
Расчет упрощается для
системы с единичной отрицательной обратной связью (рисунок 118):
,
, где k=k1k2k3 – коэффициент передачи
разомкнутой системы.
Найдем установившуюся ошибку
для некоторых типовых вариантов задающего воздействия.
При получим:
.
При получим:
.
При получим:
.
Если установившаяся ошибка
тождественно равна нулю при каком-либо типовом варианте входного сигнала,
независимо от его численных характеристик, систему называют астатической по
рассматриваемому входному сигналу.
Количество типовых вариантов
входного сигнала – членов степенного ряда, при которых установившаяся ошибка
тождественно равна нулю, определяет порядок астатизма.
Рассматриваемая система
обладает свойством астатизма второго порядка по задающему воздействию.
Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f1:
,
, где 
–
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f1.
При 
получим:
.
При 
получим:
.
При 
получим
тот же результат.
Отметим, что по возмущению f1 рассматриваемая система
не является астатической. Кроме того, она не в состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.
Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f2:
,
, где 
–
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f2.
При 
получим:
.
При 
получим:
.
При 
получим:
.
По возмущению f2 рассматриваемая система имеет
астатизм первого порядка. Она не в состоянии отработать возмущающее
воздействие, изменяющееся во времени с постоянным ускорением.
Подведем некоторые итоги:
1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки приложения входного сигнала.
2. Постоянные времени
звеньев системы не влияют на ее точность.
3. Увеличение значения
коэффициента передачи разомкнутой системы приводит к снижению величины
установившейся ошибки.
Для систем с единичной
отрицательной обратной связью существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.
Рассмотрим структуру,
показанную на рисунке 119.
В общем случае передаточная
функция разомкнутой системы может быть представлена в следующей форме:
, где l³0.
Тогда получим:
и для общего вида задающего воздействия 
, которому соответствует изображение 
,
.
Результат нахождения этого
предела зависит от соотношения показателей степени:
— при l>v установившаяся
ошибка равна нулю независимо от остальных параметров, то есть имеет место
астатизм;
— при l=v получаем
константу;
— при l<v установившаяся
ошибка стремится к бесконечности, то есть система не в состоянии отработать
входной сигнал.
Учитывая, что минимальное
значение v нулевое,
получаем условие астатизма по задающему воздействию: l>0.
Таким образом, структурный
признак астатизма по задающему воздействию в системе с единичной отрицательной
обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной
функции разомкнутой системы, или интегрирующих звеньев в прямой цепи системы.
Нетрудно также убедиться,
что положительное значение l совпадает
с порядком астатизма.
Для получения признака
астатизма по возмущающему воздействию представим передаточные функции на
рисунке 10 в форме:
,
, где l1+l2=l,
k1k2=k, m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем 
и 
.
Тогда получим:
и для общего вида возмущающего воздействия 
, которому соответствует изображение 
,
.
Все вышеприведенные выводы
можно повторить для показателя степени l1.
Таким образом, структурный
признак астатизма по возмущающему воздействию в системе с единичной
отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе
передаточной функции участка системы до точки приложения воздействия, или
интегрирующих звеньев на том же участке.
\$\begingroup\$
In the textbooks and reference material which I have been using during my course on control systems, a common definition of steady-state error is as follows:
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
where E(s) is the error (and also the signal carried forward directly from the summing node), R(s) input and C(s) output.
This definition has the slightly unsettling effect of yielding a negative error in the case that the output is above the reference signal, and vice versa. Wouldn’t it be more logical to flip the RHS expression?
Is there any particular reasoning behind selecting this convention?
asked May 3, 2020 at 19:10
\$\endgroup\$
\$\begingroup\$
where E(s) is the error (and also the signal carried forward directly
from the summing node), R(s) input and C(s) output.
The error is «demand» minus «output» and the output and the demand are desired to be equal hence, the «thing that does the math» is a subtractor: —
Picture from here.
This definition has the slightly unsettling effect of yielding a
negative error in the case that the output is above the reference
signal, and vice versa.
If the controller, feedback network and plant (as shown above) are non-inverting, then «demand» minus «output» is absolutely correct in that the error produced drives the system towards closer accuracy.
answered May 3, 2020 at 19:21
\$\endgroup\$
3
\$\begingroup\$
To me, the convention here makes much more sense than what you propose, but I think that’s really just personal opinion!
However, this definition simply makes the necessary correction have the same sign as the error, and that, I feel, has a beneficial effect on the simplicity of the system block diagram. Again, pure opinion – I don’t think there’s a «factual» reason; after all, every proportionality can have a negative sign, so there’s nothing inherently forcing any specific signs.
answered May 3, 2020 at 19:15
Marcus MüllerMarcus Müller
88.5k5 gold badges131 silver badges237 bronze badges
\$\endgroup\$
1
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Установившаяся ошибка систем управления с обратной связью
Рис. 5.18. Замкнутая система управления
Одним из основных мотивов использования обратной связи, несмотря на усложнение системы и неизбежные издержки, является возможность уменьшения установившейся ошибки. Как было показано в разд. 4.5, в устойчивой замкнутой системе установившаяся ошибка на несколько порядков меньше, чем аналогичный показатель в разо-
мкнутой системе. Рассмотрим замкнутую систему, изображенную на рис. 5.18. Сигнал, по которому можно судить об ошибке системы, обозначен через Ea(s). Однако действительная ошибка характеризуется выражением E(s) = R(s) — У(і). Тогда
E(s) = R(s)—
1+ GH(s) 1+ GH(s)
Ошибка системы совпадает с сигналом Ea(s) при H(s) = 1. В этом случае
и установившаяся ошибка определяется выражением
е5ї = lim e(t) = lim _
(-»«, a_>o 1 + G(s)
Полезно определить установившуюся ошибку системы в случае единичной обратной связи, H(s) = 1, для трех типовых тестовых входных сигналов.
Ступенчатый входной сигнал. При ступенчатом входном сигнале амплитуды А установившаяся ошибка равна
.. s(A/s) А
e..v = lim———— =———— ,
*->о 1 + С(л) 1+G(0)
т. е. она определяется передаточной функцией разомкнутой системы G(s). Последняя в общем случае записывается в виде
м
К П (■*+*/)
Таким образом, значение G(.s) при s —» 0 зависит от Л’, т. е. количества содержащихся в разомкнутой системе интеграторов. Если N > 0 , то G(0) = да и установившаяся ошибка равна нулю. Часто используют термин тип системы, который просто равен количеству интеграторов N. Так, для системы типа 0 (7V = 0 ) установившаяся ошибка равна
А А
Константа G(0), обозначаемая через Кр, называется коэффициентом ошибки по положению и определяется как
Таким образом, установившаяся ошибка при отработке ступенчатого воздействия с амплитудой А определяется выражением
Если система содержит один или более интеграторов, т. е. N > 1, то при единичном ступенчатом воздействии установившаяся ошибка равна нулю, т. к.
1+ (АГП zt / sN П Pk ) Л»[3]° sN + (*П z,1П Pk )
Линейный входной сигнал. Установившаяся ошибка в случае линейного входного сигнала (изменяющегося с постоянной скоростью А) определяется выражением:
. s(A/s2)
er, = lim————— = lim-
(5.28)
д—>о 1+G(s) — v~>o s+sG(s) *->о SG(s)
Напомним, что установившаяся ошибка зависит от количества интеграторов, N. Для системы типа «ноль» N = 0, и установившаяся ошибка равна бесконечности. Для системы типа «один» N = 1, и ошибка
А
е,< = lim
з{[кЦ (s+ z,)] / [sf| (s+ pk )]}’
(5.29)
*Гbi’YlPk Kv ’
где Kv носит название коэффициента ошибки по скорости. Этот коэффициент вычисляется по выражению
Kv =limsG(s)i
v-»0
Если передаточная функция включает в себя два или более интеграторов, N > 2, то установившаяся ошибка равна нулю. При N = 1 установившаяся ошибка отлична от нуля, но скорость изменения выходной переменной равна скорости входного сигнала (см. рис. 5.20).
Квадратичный входной сигнал. Если на вход системы поступает сигнал r(t) = Ar/2, то установившаяся ошибка имеет вид:
.. 5(Л/5Л)
= lim— = Iim-
.’->о 1+GC?) -‘->о s^G(s)
При наличии одного интегратора установившаяся ошибка равна бесконечности; при двух интеграторах, N = 2, мы получим
(5.31)
где Ка — коэффициент ошибки по ускорению, определяемый выражением
Ка =lims2G(s).
А’—>0
Если количество интеграторов N> 3, то установившаяся ошибка равна нулю.
Системы управления часто характеризуют их типом и коэффициентами ошибки Кр, Kv и Ка. Установившиеся ошибки для трех входных сигналов в зависимости от типа системы приведены в табл. 5.5. Пользу от использования коэффициентов ошибки мы проиллюстрируем на простом примере.
Таблица 5.5. Установившиеся ошибки
|
Количество интеграторов в G(s), тип системы |
Входной сигнал |
||
|
Ступенчатый, r(t) = А, R(s) = A/s |
Линейный, г(0 = At, R(s) = Als2 |
Квадратичный, r(t) = At112, R(s) = А/х* |
|
|
А |
|||
|
0 |
=———— 1 +Кр |
ОО |
ОО |
|
А |
|||
|
1 |
О II •я 0? |
Kv |
00 |
|
А |
|||
|
2 |
О II tf |
0 |
Ка |
Пример 5.3. Управление рулевым механизмом подвижного робота
Тяжело больной человек может воспользоваться подвижным роботом в качестве помощника или обслуживающего устройства. Система управления рулевым механизмом такого робота представлена в виде структурной схемы на рис. 5.19.
Регулятор имеет передаточную функцию
о
Желаемое направление движения
|
Динамика робота |
||
|
Регулятор |
||
|
К |
||
|
Gj(s) |
G<S>- ts+l |
У(3)
Действительное
направление
движения
Рис. 5.19. Структурная схема системы управления рулевым механизмом
подвижного робота
При К2 = 0 и Gj(s) = Кх установившаяся ошибка системы при ступенчатом входном сигнале равна
е„ = —— . (5.33)
1 +Кр
где Кр = КК{. Если К-у 0, то мы имеем систему типа 1, т. е.
S
и установившаяся ошибка при ступенчатом входном сигнале равна нулю.
Если управляющий входной сигнал является линейным, то установившаяся ошибка
е =-^-. (5.34)
где
Kv = lim. vG|(sX7(.s-) = К2К.
s—>0
На рис. 5.20 изображена реакция си — y(t) стемы на периодический сигнал треугольной формы при G](s) = (KjS +
+ K2)/s. На переходной характеристике отчетливо прослеживается появление установившейся ошибки, которая может не иметь существенного значения, если Kv достаточно велико. Заметим, что хотя в установившемся режиме ошибка отлична от нуля, но выходной сигнал изменя — Рис. 5.20. Реакция системы на колебания ется с заданной скоростью. треугольной формы
Коэффициенты ошибки Кр, Kv и Ки характеризуют способность системы управления уменьшать или устранять установившуюся ошибку. Поэтому они используются как количественные показатели качества системы в установившемся режиме. Проектировщик определяет коэффициенты ошибки для конкретной системы и пытается найти способы их увеличения, сохраняя в то же время приемлемое качество переходной характеристики. В примере с системой управления рулевым механизмом подвижного робота желательно увеличивать произведение КК2, чтобы увеличить Kv и тем самым уменьшить установившуюся ошибку. Однако увеличение КК2 приводит к одновременному уменьшению коэффициента затухания £ и, следовательно, к более колебательному характеру реакции системы на ступенчатое входной воздействие. Поэтому в данном случае должен быть найден разумный компромисс между значениями параметров Kv и С,.
Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …
Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик разомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависимости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …
Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отдельно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …