Относительная ошибка больше 100 процентов

Погрешности измерений физических величин

1.Введение(измерения и погрешности измерений)

2.Случайные и систематические погрешности

3.Абсолютные и относительные погрешности

4.Погрешности средств измерений

5.Класс точности электроизмерительных приборов

6.Погрешность отсчета

7.Полная абсолютная погрешность прямых
измерений

8.Запись окончательного результата прямого измерения

9.Погрешности косвенных измерений

10.Пример

1.
Введение(измерения и погрешности измерений)

Физика как наука родилась более 300 лет
назад, когда Галилей по сути создал научный изучения физических явлений:
физические законы устанавливаются и проверяются экспериментально путем
накопления и сопоставления опытных данных, представляемых набором чисел,
формулируются законы языком математики, т.е. с помощью формул, связывающих
функциональной зависимостью числовые значения физических величин. Поэтому
физика- наука экспериментальная, физика- наука количественная.

Познакомимся с некоторыми характерными
особенностями любых измерений.

Измерение- это нахождение числового
значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений
(линейки, вольтметра, часы и т.д.).

Измерения могут быть прямыми и
косвенными.

Прямое измерение- это нахождение
числового значения физической величины непосредственно средствами измерений.
Например, длину — линейкой, атмосферное давление- барометром.

Косвенное измерение- это нахождение
числового значения физической величины по формуле, связывающей искомую величину
с другими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например сопротивление
проводника определяют по формуле R=U/I, где U и I измеряются
электроизмерительными приборами.

Рассмотрим пример измерения.

Измерим длину бруска линейкой (цена
деления 1 мм). Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину
между 22 и 23 мм. Ширина интервала “неизвестности составляет 1мм, те есть равна
цене деления. Замена линейки более чувствительным прибором, например
штангенциркулем снизит этот интервал, что приведет к повышению точности
измерения. В нашем примере точность измерения не превышает 1мм.

Поэтому измерения никогда не могут быть
выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность
в измерении характеризуется погрешностью — отклонением измеренного значения
физической величины от ее истинного значения.

Перечислим некоторые из причин,
приводящих к появлению погрешностей.

1. Ограниченная точность изготовления
средств измерения.

2. Влияние на измерение внешних условий
(изменение температуры, колебание напряжения…).

3. Действия экспериментатора
(запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза…).

4. Приближенный характер законов,
используемых для нахождения измеряемых величин.

Перечисленные причины появления
погрешностей неустранимы, хотя и могут быть сведены к минимуму. Для
установления достоверности выводов, полученных в результате научных
исследований существуют методы оценки данных погрешностей.

2. Случайные и
систематические погрешности

Погрешности, возникаемые при измерениях
делятся на систематические и случайные.

Систематические погрешности- это
погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного
значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения).
При повторных измерениях погрешность остается прежней.

Причины возникновения систематических
погрешностей:

1) несоответствие средств измерения
эталону;

2) неправильная установка измерительных
приборов (наклон, неуравновешенность);

3) несовпадение начальных показателей
приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;

4) несоответствие измеряемого объекта с
предположением о его свойствах (наличие пустот и т.д).

Случайные погрешности- это погрешности,
которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие
погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на
процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки
напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при
многократном повторении опыта.

3. Абсолютные
и относительные погрешности

Для количественной оценки качества измерений вводят
понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.

Как уже говорилось, любое измерение
дает лишь приближенное значение физической величины, однако можно указать
интервал, который содержит ее истинное значение:

А пр —
D
А < А ист <
А пр +
D
А

Величина
D
А называется абсолютной погрешностью
измерения величины А. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой
величины. Абсолютная погрешность равна модулю максимально возможного отклонения
значения физической величины от измеренного значения. А пр — значение
физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось
многократно, то среднее арифметическое этих измерений.

Но для оценки качества измерения
необходимо определить относительную погрешность
e
.
e
=
D
А/А пр или
e= (D
А/А пр)*100%.

Если при измерении получена относительная
погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой
величины. В лабораториях физического практикума рекомендуется проводить
измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые
точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с
точностью миллионных долей процента.

4. Погрешности
средств измерений

Эти погрешности называют еще
инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного
прибора, точностью его изготовления и градуировки. Обычно довольствуются о
допустимых инструментальных погрешностях, сообщаемых заводом изготовителем в
паспорте к данному прибору. Эти допустимые погрешности регламентируются
ГОСТами. Это относится и к эталонам. Обычно абсолютную инструментальную
погрешность обозначают
D
иА.

Если сведений о допустимой погрешности
не имеется (например у линейки), то в качестве этой погрешности можно принять
половину цены деления.

При взвешивании абсолютная
инструментальная погрешность складывается из инструментальных погрешностей
весов и гирь. В таблице приведены допустимые погрешности наиболее часто

встречающихся
в школьном эксперименте средств измерения.

Средства измерения	Предел измерения	Цена деления	Допустимаяпогрешность
линейка ученическая
линейка демонстрационная
лента измерительная
мензурка
гири 10,20, 50 мг
гири 100,200 мг
гири 500 мг
штангенциркуль
микрометр
динамометр
весы учебные
Секундомер			1с за 30 мин
барометр-анероид	720-780 мм рт.ст.	1 мм рт.ст	3 мм рт.ст
термометр лабораторный	0-100 градусов С
амперметр школьный
вольтметр школьный

5. Класс
точности электроизмерительных приборов

Стрелочные электроизмерительные приборы
по допустимым значениям погрешностям делятся на классы точности, которые
обозначены на шкалах приборов числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс
точности
g
пр

прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от всей
шкалы прибора.

g
пр
= (D
и
А/А макс)*100% .

Например
абсолютная инструментальная погрешность прибора класса 2,5 составляет 2,5% от
его шкалы.

Если известен класс точности прибора и
его шкала, то можно определить абсолютную инструментальную погрешность
измерения

D
иА=( g
пр
* А макс)/100.

Для повышения точности измерения
стрелочным электроизмерительным прибором надо выбирать прибор с такой шкалой,
чтобы в процессе измерения располагались во второй половине шкалы прибора.

6. Погрешность
отсчета

Погрешность отсчета получается от
недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений.

В большинстве случаев абсолютную
погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Исключения
составляют измерения стрелочными часами (стрелки передвигаются рывками).

Абсолютную погрешность отсчета принято
обозначать
D
оА

7. Полная
абсолютная погрешность прямых измерений

При выполнении прямых измерений
физической величины А нужно оценивать следующие погрешности:
D
иА,
D
оА и
D
сА (случайную). Конечно,
иные источники ошибок, связанные с неправильной установкой приборов,
несовмещение начального положения стрелки прибора с 0 и пр. должны быть
исключены.

Полная абсолютная погрешность прямого
измерения должна включать в себя все три вида погрешностей.

Если случайная погрешность мала по
сравнению с наименьшим значением, которое может быть измерено данным средством
измерения (по сравнению с ценой деления), то ее можно пренебречь и тогда для
определения значения физической величины достаточно одного измерения. В
противном случае теория вероятностей рекомендует находить результат измерения
как среднее арифметическое значение результатов всей серии многократных
измерений, погрешность результата вычислять методом математической статистики.
Знание этих методов выходит за пределы школьной программы.

8. Запись
окончательного результата прямого измерения

Окончательный результат измерения
физической величины А следует записывать в такой форме;

А=А пр +

D
А,
e= (D
А/А пр)*100%.

А пр —
значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение
проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений.
D
А- полная абсолютная
погрешность прямого измерения.

Абсолютную погрешность обычно выражают
одной значащей цифрой.

Пример: L=(7,9 +
0,1) мм,
e=13%.

9. Погрешности
косвенных измерений

При обработке результатов косвенных
измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами
А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную
погрешность косвенного измерения
e= D
Х/Х пр, пользуясь
формулами, приведенными в таблице (без доказательств).

Абсолютную погрешность определяется по
формуле
D
Х=Х пр
*e,

где
e
выражается
десятичной дробью, а не в процентах.

Окончательный результат записывается
так же, как и в случае прямых измерений.

Вид функции	Формула
Х=А+В+С
Х=А-В
Х=А*В*С
Х=А n
Х=А/В

Пример:

Вычислим погрешность измерения коэффициента
трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно
тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна
силе трения скольжения.

С помощью динамометра взвесим
брусок с грузами: 1,8 Н.
F
тр
=0,6 Н

μ=0,33.Инструментальная погрешность динамометра
(находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены
деления)

Δ о =0,05Н.Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.

Относительная погрешность
измерения (в таблице 5-я строчка)

, следовательно
абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет0,22*0,33=0,074

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность приближения

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью

приближения


называется модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.

где

х

— это точное значение числа,

а

— его приближенное значение.

Например, в результате измерений было получено число. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа. Тогда абсолютная погрешность приближения

В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, . Здесь получается, что абсолютная погрешность приближения выражена иррациональным числом.

Приближение может выполняться как

по недостатку


, так и

по избытку


.

То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15.

Правило округления:

если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку; если же меньше пяти, то по недостатку.

Например, т.к. третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.

Вычислим абсолютные погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку:

Как видим, абсолютная погрешность приближения по недостатку меньше, чем по избытку. Значит, приближение по недостатку в этом случае обладает более высокой точностью.

Относительная погрешность приближения

Абсолютная погрешность обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки.

Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 г в свою пользу. Т.е. абсолютная погрешность составила 50 г. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на неё внимания. А если при приготовлении лекарства произойдёт подобная ошибка? Тут уже всё будет намного серьёзней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения.

Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме неё очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение.

Относительной погрешностью приближения


называется отношение абсолютной погрешности к точному значению числа.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведём несколько примеров.

Пример 1.

На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Итак, .

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Значит, точность приближения с недостатком выше, чем точность приближения с избытком.

Пример 2.

В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Итак, .

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Значит, точность приближения с избытком выше, чем точность приближения с недостатком.

Найдите абсолютную погрешность приближения:

1. числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;

   числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;

   числа числом;

   числа числом 0,3;

   числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7;

   числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;

   число числом;

   число числом 0,2.

Приближённое значение числа
х


равно

а


. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:

Запишите в виде двойного неравенства:

Найдите приближённое значение числа
х


, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и избытком, если:

Докажите, что среднее арифметическое чисел
а


и

b


является приближённым значением каждого из этих чисел с точностью до.

Округлите числа:

до единиц

до десятых

до тысячных

до тысяч

до стотысячных

до единиц

до десятков

до десятых

до тысячных

до сотен

до десятитысячных

Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите её до тысячных и найдите абсолютную погрешность:

Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближённым значением числа с точностью до 0,001. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,0005?

Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближённым значением числа с точностью до 0,01. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,005?

Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.

Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.

Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.

Сравните качества измерения массы
М


электровоза и массы
т


таблетки лекарства, если т (с точностью до 0,5 т), а г (с точностью до 0,01 г).

Сравните качества измерения длины реки Волги и диаметра мячика для настольного тенниса, если км (с точностью до 5 км) и мм (с точностью до 1 мм).

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа
называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример

: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например

, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью
называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374. Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

• при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
• при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
• при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например

, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Часто в жизни нам приходится сталкиваться с различными приближенными величинами. Приближенные вычисления — всегда вычисления с некоторой погрешностью.

Понятие абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность приближенного значения это модуль разности точного значения и приближенного значения.
То есть из точного значения нужно вычесть приближенное значение и взять полученное число по модулю. Таким образом, абсолютная погрешность всегда величина положительная.

Как вычислять абсолютную погрешность

Покажем, как это может выглядеть на практике. Например, у нас имеется график некоторой величины, пускай это будет парабола: y=x^2.

По графику мы сможем определить приблизительное значение в некоторых точках. Например, при x=1.5 значение у приблизительно равно 2.2 (y≈2.2).

По формуле y=x^2 мы можем найти точное значение в точке x=1.5 у= 2.25.

Теперь вычислим абсолютную погрешность наших измерений. |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.

Абсолютная погрешность равна 0.05. В таких случаях еще говорят значение вычислено с точность до 0.05.

Часто бывает так, что точное значение не всегда можно найти, а, следовательно, абсолютную погрешность не всегда возможно найти.

Например, если мы будем вычислять расстояние между двумя точками с помощью линейки, или значение угла между двумя прямыми с помощью транспортира, то мы получим приближенные значения. А вот точное значение вычислить невозможно. В данном случае, мы можем указать такое число, больше которого значение абсолютной погрешности быть не может.

В примере с линейкой это будет 0.1 см, так как цена деления на линейке 1 миллиметр. В примере для транспортира 1 градус потому, что шкала транспортира проградуирована через каждый градус. Таким образом, значения абсолютной погрешности в первом случае 0.1, а во втором случае 1.

При прямых измерениях

1. Пусть на вольтметре однократно измерены два напряжения U
1 = 10 В, U
2 = 200 В. Вольтметр имеет следующие характеристики: класс точности d кл т = 0,2, U
max = 300 В.

Определим абсолютную и относительную погрешности этих измерений.

Так как оба измерения произведены на одном приборе, то DU
1 = DU
2 и вычисляются по формуле (В.4)

Согласно определению относительные погрешности U
1 и U
2 соответственно равны

ε 1 = 0,6 ∙ В / 10 В = 0,06 = 6 %,

ε 2 = 0,6 ∙ В / 200 В = 0,003 = 0,3 %.

Из приведенных результатов вычислений ε 1 и ε 2 видно, что ε 1 значительно больше ε 2 .

Отсюда вытекает правило: следует выбирать прибор с таким пределом измерений, чтобы показания были в последней трети шкалы.

2. Пусть некоторая величина измерена многократно, то есть произведено n
отдельных измерений этой величины А х
1 , А х
2 ,…, А х
3 .

Тогда для вычисления абсолютной погрешности производят следующие операции:

1) по формуле (В.5) определяют среднее арифметическое значение А
0 измеряемой величины;

2) вычисляют сумму квадратов отклонений отдельных измерений от найденного среднего арифметического и по формуле (В.6) определяют среднюю квадратическую погрешность, которая и характеризует абсолютную погрешность единичного измерения при многократных прямых измерениях некоторой величины;

3) относительная погрешность ε вычисляется по формуле (В.2).

Вычисление абсолютной и относительной погрешности

При косвенном измерении

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях – более сложная задача, так как в этом случае искомая величина является функцией других вспомогательных величин, измерение которых сопровождается появлением погрешностей. Обычно при измерениях, если не считать промахов, случайные погрешности оказываются весьма малыми по сравнению с измеряемой величиной. Они настолько малы, что вторые и более высокие степени погрешностей лежат за пределами точностей измерений и ими можно пренебречь. Из-за малости погрешностей для получения формулы погрешности
косвенно измеряемой величины применяют методы дифференциального исчисления. При косвенном измерении величины, когда непосредственно измеряются величины, связанные с искомой некоторой мaтематической зависимостью, удобнее вначале определить относительную погрешность и уже
через найденную относительную погрешность вычислять абсолютную погрешность измерения.

Дифференциальное исчисление дает наиболее простой способ определения относительной погрешности при косвенном измерении.

Пусть искомая величина А
связана функциональной зависимостью с несколькими независимыми непосредственно измеряемыми величинами x
1 ,
x
2 , …, x k
, т. е.

A
= f
(x
1 , x
2 , …, x k
).

Для определения относительной погрешности величины А
берется натуральный логарифм от обеих частей равенства

ln A
= ln f
(x
1 , x
2 , …, x k
).

Затем вычисляется дифференциал натурального логарифма функции
A
= f
(x
1 ,x
2 , …, x k
),

dlnA
= dlnf
(x
1 , x
2 , …, x k
)

В полученном выражении производятся все возможные алгебраические преобразования и упрощения. После этого все символы дифференциалов d заменяются на символы погрешности D, причем отрицательные знаки перед дифференциалами независимых переменных заменяются положительными, т. е. берется наиболее неблагоприятный случай, когда все погрешности складываются. В этом случае вычисляется максимальная погрешность результата.

С учетом вышесказанного

но ε = D А
/ А

Данное выражение является формулой относительной погрешности величины А
при косвенных измерениях, оно определяет относительную погрешность искомой величины, через относительные погрешности, измеряемых величин. Вычислив по формуле (В.11) относительную погрешность,
определяют абсолютную погрешность величины А
как произведение относительной погрешности на рассчитанное значение А
т. е.

DА
= εА
, (В.12)

где ε выражено безразмерным числом.

Итак, относительную и абсолютную погрешности косвенно измеряемой величины следует рассчитать в такой последовательности:

1) берется формула, по которой рассчитывается искомая величина (расчетная формула);

2) берется натуральный логарифм от обеих частей расчетной формулы;

3) вычисляется полный дифференциал натурального логарифма искомой величины;

4) в полученном выражении производятся все возможные алгебраические преобразования и упрощения;

5) символ дифференциалов d заменяется на символ погрешности D, при этом все отрицательные знаки перед дифференциалами независимых переменных заменяются на положительные (величина относительной погрешности будет максимальной) и получается формула относительной погрешности;

6) рассчитывается относительная погрешность измеряемой величины;

7) по рассчитанной относительной погрешности вычисляется абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (В.12).

Рассмотрим несколько примеров расчета относительной и абсолютной погрешностей при косвенном измерении.

1. Искомая величина А
связана с непосредственно измеряемыми величинами х
, у
, z
соотношением

где a
и b
– постоянные величины.

2. Возьмем натуральный логарифм от выражения (В.13)

3. Вычислим полный дифференциал натурального логарифма искомой величины А
, то есть дифференцируем (В.13)

4. Производим преобразования. Учитывая, что dа
= 0, так как а
= const, cos у
/sin y
= ctg y
, получаем:

5. Заменим символы дифференциалов символами погрешностей и знак «минус» перед дифференциалом на знак «плюс»

6. Рассчитываем относительную погрешность измеряемой величины.

7. По рассчитанной относительной погрешности вычисляется абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (В.12), т. е.

Определяется длина волны желтого цвета спектральной линии ртути при помощи дифракционной решетки (используя принятую последовательность вычисления относительной и абсолютной погрешностей для длины волны желтого цвета).

1. Длина волны желтого цвета в этом случае определяется по формуле:

где С
– постоянная дифракционной решетки (косвенно измеряемая величина); φ ж – угол дифракции желтой линии в данном порядке спектра (непосредственно измеряемая величина); K
ж – порядок спектра, в котором производилось наблюдение.

Постоянная дифракционной решетки вычисляется по формуле

где K
з – порядок спектра зеленой линии; λ з – известная длина волны зеленого цвета (λ з – постоянная); φ з – угол дифракции зеленой линии в данном порядке спектра (непосредственно измеряемая величина).

Тогда с учетом выражения (В.15)

(В.16)

где K
з, K
ж – наблюдаемые, которые считаются постоянными; φ з, φ ж – являют-
ся непосредственно измеряемыми величинами.

Выражение (В.16) – расчетная формула длины волны желтого цвета, определяемой при помощи дифракционной решетки.

4. dK
з = 0; dK
ж = 0; dλ з = 0, так как K
з, K
ж и λ з – постоянные величины;

Тогда

5. (В.17)

где Dφ ж, Dφ з – абсолютные погрешности измерения угла дифракции желтой
и зеленой линий спектра.

6. Рассчитываем относительную погрешность длины волны желтого цвета.

7. Вычисляем абсолютную погрешность длины волны желтого цвета:

Dλ ж = ελ ж.