Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».
Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.
Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это
разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:
ΔА = А — Апр .
Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной
погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.
Относительная погрешность измерения
εА равна:
При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:
В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из
множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.
Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:
ΔА = εA· А.
«Правило ничтожных погрешностей»
при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟4 от другого.
Запись результата с указанием погрешности.
Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.
Пример:
Результат записывается в виде:
А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.
При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении
погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения). Значение величины и погрешность следует
выражать в одних и тех же единицах!
Пример:
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?
Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за
топливо?
Погрешность Косвенных измерений.
Полная величина
погрешности измерений (абсолютная
погрешность) складывается из случайной
погрешности
и неисключенного остатка систематической
погрешности ,
=
+ . Если
учесть, что усредненное
по большому количеству реализаций
значение случайной погрешности равно
нулю, а НСП суть постоянная величина,
то среднеквадратическое значение полной
погрешности измерений будет равно:
Результат косвенных
измерений получается в итоге выполнения
некой вычислительной процедуры над
данными прямых измерений и включает в
неявном виде систематическую и случайную
составляющие. Отсюда естественно
вытекает, что окончательная погрешность
косвенных измерений должна быть связана
с погрешностью прямых измерений некой
функциональной зависимостью.
Пусть определяемая
в процессе косвенных измерений неизвестная
величина Z
есть функция нескольких (i)
величин Xi,
значения которых можно получить из
опытных данных.
(19)
Пусть также
систематическая и случайная составляющие
погрешностей определения величин Xi
являются
малыми и равны соответственно i
и i.
Тогда полная погрешность косвенного
измерения равна Xi=i+I
и ее тоже можно
считать малой, Хi/Хi
<<1.
Возможны два подхода к оценке величины
результирующей погрешности измерений
величины Z.
При первом подходе,
который наиболее часто используется
в обычной практике, оценивается
результирующая (суммарная) погрешность
косвенного измерения без раздельного
выделения систематической и случайной
погрешностей косвенного измерения.
Если продифференцировать
уравнение (19) и перейди от дифференциалов
к конечным приращениям, то для приращения
Z
получим:
(20)
По физической
сущности полученное приращение Z
есть абсолютная погрешность косвенных
измерений
величины Z,
выраженная через абсолютные погрешности
измерения Xi
величин Xi.
Соответственно
относительная
погрешность косвенных измерений
будет равна:
где:
(21)
Рассмотрим два
типичных случая.
а). Пусть Z=XnYm.
Тогда относительная погрешность
косвенного измерения величины Z,
выраженная через случайные погрешности
измерения величин X
и Y,
согласно формуле (21) будет равна:
. (22)
Отсюда видно, что
при значениях показателей степени n,m>1
вклад погрешности прямого измерения в
результирующую относительную погрешность
косвенного измерения будет усиливаться
пропорционально показателю степени.
б). Пусть Z=X+Y-W.
Величина относительной погрешности
косвенного измерения, полученная из
уравнения (21), будет равна:
(23)
Следовательно,
при определенном соотношении измеренных
значений величин X,
Y,
W,
таком,
что
X+YW,
результирующая погрешность косвенного
измерения величины Z,
как следует
из (23), может оказаться весьма велика.
Причем даже случае, когда погрешности
измерения величин X,
Y
и W
достаточно малы, X,
Y,
W
0.
Второй более полный
и строгий подход к определению величины
случайной погрешности косвенных
измерений является метод, основанный
на представлении искомой физической
величины в виде ряда Тэйлора.
Пусть величина Z
является функцией двух величин X
и Y,
значения которых получены в прямых
измерениях, тогда:
;
(24)
Будем считать
величину погрешностей малой по сравнению
с действительными значениями величин
и представим результирующую погрешность
∆ в виде суммы неисключенного остатка
систематической погрешности (НСП) θ
и случайной
составляющей δ:
(25)
Разложим функцию
F(X,Y)
в ряд Тэйлора
и отбросим члены разложения выше 2-го
порядка. Тогда для погрешности косвенного
измерения (т.е. малого приращения величины
Z)
получим следующее выражение:
(26)
Из уравнения (26)
следует, что если ограничиться в
разложении Тэйлора только членами
первого порядка, то получим обычное
выражение для погрешности, по форме
соответствующее (21):
Если теперь
усреднить левую и правую части разложения
(26) и учесть, что при усреднении по
большому числу измерений средняя
величина случайной погрешности стремится
к нулю, то для систематической погрешности
косвенного измерения с учетом членов
2-го порядка получим:
…(27)
Отсюда вытекает,
что при косвенных измерениях систематическая
погрешность определяется не только
величиной НСП прямых измерений величин
X
и Y,
но и случайными погрешностями их
измерения Х
и Y.
Во-первых, второе
и третье слагаемые в правой части
выражения (27) указывают, что необходимость
введения поправок на систематическую
погрешность к результатам косвенного
измерения может возникать даже тогда,
когда при очень малых НСП прямых измерений
равна θX,
θY0,
величины случайных погрешностей X
и (или) Y
окажутся достаточно велики.
Во-вторых, последнее
слагаемое в правой части () включает
корреляционный момент RXY,
который
служит мерой линейной статистической
связи случайных величин X
и Y:
Следовательно, на
величину систематической погрешности
косвенных измерений может оказывать
сильное влияние наличие корреляционных
связей между случайными погрешностями
величин X
и Y.
Эта статистическая связь может носить
самый разнообразный характер, который
определяется свойствами объекта и
методикой проведения измерений. Отличие
корреляционного момента от нуля, RXY
≠
0, означает, что случайные величины X
и Y
обнаруживают тенденцию к синхронному
изменению под воздействием каких-либо
внешних факторов, например, температуры
внешней среды. Их изменение может быть
однонаправленным, RXY
>0 –
положительная корреляция, которая
приведет к увеличению погрешности
косвенного измерения, или разнонаправленным,
RXY
<0 —
отрицательная корреляция, следствием
которой будет уменьшение результирующей
погрешности. При RXY
=0 корреляция
отсутствует и величины X
и Y
будут независимы (некоррелированы).
-
В косвенных
измерениях случайная погрешность
измерений может трансформироваться в
систематическую
Из этих примеров
ясно видно, что при выборе метода
косвенного измерения физической величины
надо очень внимательно подходить к
анализу физических законов и
соответствующих вычислительных процедур,
которыми определяется связь этой
величины с измеряемыми параметрами.
Погрешности в
технических измерениях
Рассмотренные
выше понятия «прямых» и «косвенных»,
«однократных» и «многократных» измерений
возникли и развивались прежде всего
применительно к задачам метрологии, к
практике метрологических измерений. В
технике ограничено время, отводимое на
получение и обработку измерительной
информации, а сами задачи измерений
принципиально отличаются от метрологических,
Соответственно в технических измерениях
требуется дополнительное уточнение
этих понятий, методов и процедур
определения погрешностей. При этом,
конечно, все основные метрологические
принципы и остаются неизменными.
Метрологические
требования.
В метрологии все
измерительные процедуры должны
обеспечивать совокупное выполнение
четырех условий – достижение максимальной
точности, правильности, воспроизводимости
и сходимости результатов измерений.
Иная ситуация в технике, где требования
максимальной точности или правильности
измерений далеко не всегда являются
главными.
Различные задачи
технических измерений предъявляют и
различные требования к метрологическим
характеристикам процедуры результатов
измерений.
1. Результаты
измерений являются исходными данными
для принятия решений в системах
автоматического управления. В этом
случае величина погрешности измерений
должна быть известна заранее и не может
выходить за установленные границы.
Превышение реальной величины погрешности
измерений над той, которая заложена в
алгоритме САУ, является достаточно
распространенной и очень трудно
выявляемой причиной отказов или
неудовлетворительной работы систем
управления.
Основным
метрологическим требованием является
максимальная (желательно абсолютная)
сходимость результатов измерений, т.е.
качество измерений, отражающее близость
друг к другу результатов повторных
измерений, выполняемых в одинаковых
условиях. Критерии точности,
воспроизводимости и правильности
определяются особенностями конкретного
объекта управления и параметрами системы
управления.
2. В задачах контроля
качества продукции требуется, чтобы
истинное значение физической величины
находилось в пределах границ допусков,
заданных техническим регламентом или
документацией. Этим определяются
требования к точности и правильности
измерений. Но при всех условиях необходимы
максимальная сходимость и воспроизводимость
измерений.
3. При исследовании,
анализе и идентификации технических
систем обычно используют стандартные
для этих систем методы и средства
измерений со свойственными им
метрологическими характеристиками.
К этой же группе относятся и задачи по
определению систематических погрешностей
самих измерений (см. выше ). Главное
отличие измерений этой группы состоит
в том, что обработка измерительной
информации не связана с временными
ограничениями и может выполняться с
использованием методов, отличных от
стандартных. В результате точность и
правильность измерений повышается при
сохранении первоначальной сходимости
и воспроизводимости. Метрологические
характеристики этого типа измерений
определяют достоверность и надежность
решений о принятии или отклонении тех
или иных физических или математических
моделей анализируемого объекта.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Вычисление погрешностей измерений
Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.
Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.
Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.
Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δиx + Δоx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.
Абсолютная инструментальная погрешность Δиx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.
| Средства измерений | Диапазон измерений | Абсолютная инструментальная погрешность |
| Линейки: металлические деревянные пластмассовые |
150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм |
0,1 мм 0,5 мм 1 мм |
| Лента измерительная | 150 см | 0,5 см |
| Мензурки 2-го класса | 100, 200, 250 см3 | 5 см3 |
| Амперметр школьный | 2 А | 0,05 А |
| Миллиамперметр | от 0 до Imax | 4 % максимального предела измерений Imax |
| Вольтметр школьный | 6 В | 0,15 В |
| Термометр лабораторный | 100 °С | 1 °С |
| Барометр-анероид | 720–780 мм рт. ст. | 3 мм рт. ст. |
| Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм | 155, 250, 350 мм | 0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса |
| Микрометры с ценой деления 0,01 мм | 0–25, 25–50, 50–75 мм | 0,004 мм |
Абсолютная погрешность отсчёта Δоx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.
Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:
Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:
Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.
Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.
Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.
| Вид функции y | Абсолютная погрешность Δy | Относительная погрешность  |
| x1 + x2 | Δx1 + Δx2 |  |
| x1 − x2 | Δx1 + Δx2 | |
| Cx | CΔx |  |
| x1x2 | |x1| Δx2 + |x2| Δx1 |  |
 |
 |
|
| xn | |n||x|n−1Δx |  |
| lnx | |
 |
| sinx | |cosx| Δx |  |
| cosx | |sinx| Δx | |tgx| Δx |
| tgx |  |
 |
Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.