Полная ошибка измерения это

1. Полная погрешность прямых измерений

При измерениях
может быть несколько источников
погрешностей, поэтому важным является
вопрос о правилах нахождения суммарной
погрешности измерения по известным
значениям погрешностей составляющих
ее частей. В теории вероятностей
показывается, что если погрешность
измерений вызвана несколькими независимыми
друг от друга случайными причинами, то
полная абсолютная погрешность Δх
измеряемой величины определяется путем
суммирования квадратов складываемых
погрешностей по формуле

, (6)

где ∆х_сл
– случайная погрешность (2) прямых
измерений, ∆х_пр
– приборная погрешность.

Полная относительная
погрешность измерения

, (7)

где ε_сл,
ε_пр
– случайная и приборная относительные
погрешности.

При выполнении
расчетов для всех составляющих полной
погрешности выбирается одинаковое
значение доверительной вероятности.
Такая же вероятность будет и для полной
абсолютной погрешности Δх.
Из простых расчетов по формуле (7) следует,
что если какая-либо из складываемых
погрешностей в три и более раза меньше
другой, то ее вклад в полную погрешность
оказывается незначительным и такой
погрешностью можно пренебречь.

Иногда при
многократных измерениях получается
одно и то же значение измеряемой
физической величины. В этом случае
случайная погрешность не превышает
наименьшего значения, которое может
быть измерено данным прибором, а именно
– цены деления прибора, т.е. полная
погрешность целиком определяется
допустимой приборной погрешностью.

При обработке
результатов прямых измерений предлагается
следующий порядок операций.

1. Вычисляется
   среднее арифметическое значение из n
   результатов измерений

.

1. Определяются
   случайные отклонения

.

1. Предварительно
   определив по табл. 1 коэффициент Стьюдента
   для числа измерений n
   и доверительной вероятности Р = 0,95,
   рассчитывается случайная погрешность

.

1. Определяется
   приборная погрешность

.

1. Находится полная
   абсолютная погрешность результата
   измерений

.

1. Оценивается
   относительная погрешность результата
   измерений

.

7. Записывается
окончательный результат в виде:

,

.

Поскольку значения
физических величин, полученные в
результате измерений и обработки
результатов измерений, имеют погрешности,
они являются приближенными числами.
Перед окончательной записью результата
полученные при расчете числа следует
округлить, т. е. уменьшить количество
их значащих цифр. Так как найденные
значения погрешностей также являются
числами приближенными, то в соответствии
с точностью методов обработки результатов
измерений абсолютная погрешность
определяется не более чем до двух первых
значащих цифр. При простейших методах
обработки в вычисленной абсолютной
погрешности вторая цифра, как правило,
неверна. Поэтому абсолютную погрешность
округляют до одной значащей цифры.
Например, ΔL
= 0,467569 мм ≈ 0,5 мм;

ΔR
= 7,679 Ом ≈ 8 Ом.

Исключением из
этого правила являются погрешности,
первая цифра в значении которых единица.
Тогда во избежание грубой ошибки при
округлении в абсолютной погрешности
следует оставить две значащие цифры, а
в относительной – одну. Например, ΔL
= 0,167569 мм ≈ 0,17 мм; ΔR =
1,3791 Ом ≈ 1,4 Ом.

Знание погрешности
измерений позволяет правильно записать
окончательный ответ, оставив в нем
только верные и одну или две сомнительные
цифры. Последняя цифра результата и
последняя значащая цифра его абсолютной
погрешности должны принадлежать к
одному и тому же десятичному разряду.

Окончательный
результат измерений записывается вместе
с погрешностью и доверительной
вероятностью и должен иметь, например,
следующий вид:

L
= (1,12 ± 0,17) мм,
Р = 0,95

при округлении
погрешности до двух цифр, и

L
= (1,12 ± 0,04) мм, Р
= 0,95

при округлении
погрешности до одной значащей цифры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В физике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений.

Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов все измерения можно производить только с известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Точность измерений зависит от используемых при измерениях прибо- ров и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совершаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

В результате i-го измерения (i – номер измерения) величины «Х”, получается приближенное число Х_i, отличающееся от истинного значения Хист на некоторую величину ∆Х_i = |Х_i – Х|, которая является допущенной ошибкой или, другими словами, погрешностью. Истинная погрешность нам не известна, так как мы не знаем истинного значения измеряемой величины. Истинное значение измеряемой физической величины лежит в интервале

Х_i – ∆Х < Х_i – ∆Х < Х_i + ∆Х

где Х_i – значение величины Х, полученное при измерении (то есть измеренное значение); ∆Х – абсолютная погрешность определения величины Х.

Абсолютная ошибка (погрешность) измерения ∆Х – это абсолютная величина разности между истинным значением измеряемой величины Хист и результатом измерения X_i: ∆Х = |Х_ист – X_i|.

Относительная ошибка (погрешность) измерения δ (характеризующая точность измерения) численно равна отношению абсолютной погрешности измерения ∆Х к истинному значению измеряемой величины Х_ист (часто выражается в процентах): δ = (∆Х / Х_ист) • 100% .

Погрешности или ошибки измерений можно разделить на три класса: систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно (согласно некоторой функциональной зависимости) изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, недостатков принятого метода измерений, каких-либо упущений экспериментатора, влияния внешних условий или дефекта самого объекта измерения.

В любом измерительном приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, то есть эти погрешности характеризуются постоянным знаком. Например, если при взвешивании одна из гирь имеет массу на 0,01 г большую, чем указано на ней, то найденное значение массы тела будет завышенным на эту величину, сколько бы измерений ни производилось. Иногда систематические ошибки можно учесть или устранить, иногда этого сделать нельзя. Например, к неустранимым ошибкам относятся ошибки приборов, о которых мы можем лишь сказать, что они не превышают определенной величины.

Случайными ошибками называют ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Появление случайных ошибок обусловлено действием многих разнообразных и неконтролируемых причин.

Например, при взвешивании весами этими причинами могут быть колебания воздуха, осевшие пылинки, разное трение в левом и правом подвесе чашек и др. Случайные ошибки проявляются в том, что, произведя измерения одной и той же величины Х в одинаковых условиях опыта, мы получаем несколько различающихся значений: Х1, Х2, Х3,…, Х_i,…, Х_n, где Х_i – результат i-го измерения. Установить какую-либо закономерность между результатами не удается, поэтому результат i — го измерения Х считается случайной величиной. Случайные ошибки могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.

Промахи и грубые погрешности – чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями экспериментатора (например, из-за невнимательности вместо показания прибора «212» записывается совершенно другое число – «221»). Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.

Измерения могут быть проведены с точки зрения их точности техническим и лабораторным методами.

При использовании технических методов измерение проводится один раз. В этом случае удовлетворяются такой точностью, при которой погрешность не превышает некоторого определенного, заранее заданного значения, определяемого погрешностью примененной измерительной аппаратурой.

При лабораторных методах измерений требуется более точно указать значение измеряемой величины, чем это допускает ее однократное измерение техническим методом. В этом случае делают несколько измерений и вычисляют среднее арифметическое полученных значений, которое принимают за наиболее достоверное (истинное) значение измеряемой величины. Затем производят оценку точности результата измерений (учет случайных погрешностей).

Из возможности проведения измерений двумя методами вытекает и существование двух методов оценки точности измерений: технического и лабораторного.

2.6. Обработка результатов измерений

Обработка прямых измерений. Для характеристики большинства приборов часто используют понятие приведенной погрешности, равной абсолютной погрешности в процентах диапазона шкалы измерений. По приведенной погрешности приборы разделяются на классы точности. Класс точности указан на панели прибора.

Наибольшая инструментальная погрешность измеряется по формуле:

,               (2.1)

где К – класс точности, А – наибольшее значение шкалы прибора.

Инструментальную погрешность невозможно уменьшить статистической обработкой отсчетов.

При наличии случайных погрешностей наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны относительно ее истинного значения. В этом случае действительное значение находят как наиболее вероятное из серии отсчетов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью показывает истинное значение [44].

Наилучшей оценкой истинного значения величины Х является выборочное среднее значение

,                    (2.2)

где   – отсчет величины Х,  – число отсчетов.

Для оценки разброса отсчетов при измерении используется выборочное среднее квадратическое отклонение отсчетов

.           (2.3)

Выборочное среднее является случайной величиной и его разброс относительно истинного значения измеряемой величины оценивается выборочным средним квадратическим отклонением среднего значения

.                          (2.4)

Доверительным интервалом называется интервал , который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины.

Доверительной вероятностью (надежностью) результата серии наблюдений называется вероятность , с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины.

Случайную составляющую погрешности принято выражать как полуширину доверительного интервала. Случайная составляющая погрешности многократных измерений

,                (2.5)

где  – безразмерный коэффициент доверия (коэффициент Стьюдента).

Чем больше доверительная вероятность, тем надежнее оценка интервала и, вместе с тем, шире его границы.

Полная абсолютная погрешность  прямых измерений равна квадратической сумме ее составляющих: инструментальной –  и случайной –

 .        (2.6)

Полная относительная погрешность  прямых измерений равна отношению полной абсолютной погрешности к выборочному среднему значению

.            (2.7)

Обработка косвенных измерений [44]. Расчет погрешностей косвенных измерений осуществляется по алгоритму, использующему сложение абсолютных величин погрешностей.

Пусть  – функциональная зависимость между измеряемой величиной  и величинами , значения которых найдены прямыми измерениями. Действительное значение  определяется как:

.       (2.8)

Вычисляем относительные погрешности аргументов. Затем определяем абсолютную и относительную погрешности функции

                        (2.9)

и по формулам:

—          для относительной погрешности

;                 (2.10)

—          для абсолютной погрешности

.                           (2.11)

Оценка токсического действия тестируемой пробы воды. Оценка токсического действия тестируемой пробы воды делается на основании достоверности различий между показателями прироста численности клеток водорослей в контроле и в опыте. При этом вычисляют [14]:

– средние арифметические величины прироста численности клеток – X_i и X (в контроле и опыте);

– среднее квадратичное отклонение  по формуле (2.3);

– ошибку среднего арифметического (X):

– Td – критерий достоверности различий двух величин:

;                       (2.12)

,              (2.13)

где x_k и x_о – сравниваемые средние величины (в контроле и опыте),

Sk² и So² – квадраты ошибок средних в контроле и опыте.

Td рассчитывают для каждой тестируемой пробы и сравнивают с табличной величиной Tst – стандартным значением критерия Стьюдента. В нашем случае для его определения принимаем уровень значимости р = 0,05 (95%) и степень свободы = (n1 + n2 – 2), т. е. (3 + 3 – 2) = 4. Tst при степени свободы 4 равно 2,78.

Если Td ≥ Tst, то различие между контролем и опытом достоверно – тестируемая вода загрязнена.

Если Td < Tst, то различие между контролем и опытом не достоверно – тестируемая вода не загрязнена.