Режим обнаружения и исправления ошибок - Oshibku.top - решение и исправление самых разных ошибок

To clean up transmission errors introduced by Earth’s atmosphere (left), Goddard scientists applied Reed–Solomon error correction (right), which is commonly used in CDs and DVDs. Typical errors include missing pixels (white) and false signals (black). The white stripe indicates a brief period when transmission was interrupted.

In information theory and coding theory with applications in computer science and telecommunication, error detection and correction (EDAC) or error control are techniques that enable reliable delivery of digital data over unreliable communication channels. Many communication channels are subject to channel noise, and thus errors may be introduced during transmission from the source to a receiver. Error detection techniques allow detecting such errors, while error correction enables reconstruction of the original data in many cases.

Definitions[edit]

Error detection is the detection of errors caused by noise or other impairments during transmission from the transmitter to the receiver.

Error correction is the detection of errors and reconstruction of the original, error-free data.

History[edit]

In classical antiquity, copyists of the Hebrew Bible were paid for their work according to the number of stichs (lines of verse). As the prose books of the Bible were hardly ever written in stichs, the copyists, in order to estimate the amount of work, had to count the letters.^[1] This also helped ensure accuracy in the transmission of the text with the production of subsequent copies.^[2]^[3] Between the 7th and 10th centuries CE a group of Jewish scribes formalized and expanded this to create the Numerical Masorah to ensure accurate reproduction of the sacred text. It included counts of the number of words in a line, section, book and groups of books, noting the middle stich of a book, word use statistics, and commentary.^[1] Standards became such that a deviation in even a single letter in a Torah scroll was considered unacceptable.^[4] The effectiveness of their error correction method was verified by the accuracy of copying through the centuries demonstrated by discovery of the Dead Sea Scrolls in 1947–1956, dating from c. 150 BCE-75 CE.^[5]

The modern development of error correction codes is credited to Richard Hamming in 1947.^[6] A description of Hamming’s code appeared in Claude Shannon’s A Mathematical Theory of Communication^[7] and was quickly generalized by Marcel J. E. Golay.^[8]

Principles[edit]

All error-detection and correction schemes add some redundancy (i.e., some extra data) to a message, which receivers can use to check consistency of the delivered message and to recover data that has been determined to be corrupted. Error detection and correction schemes can be either systematic or non-systematic. In a systematic scheme, the transmitter sends the original (error-free) data and attaches a fixed number of check bits (or parity data), which are derived from the data bits by some encoding algorithm. If error detection is required, a receiver can simply apply the same algorithm to the received data bits and compare its output with the received check bits; if the values do not match, an error has occurred at some point during the transmission. If error correction is required, a receiver can apply the decoding algorithm to the received data bits and the received check bits to recover the original error-free data. In a system that uses a non-systematic code, the original message is transformed into an encoded message carrying the same information and that has at least as many bits as the original message.

Good error control performance requires the scheme to be selected based on the characteristics of the communication channel. Common channel models include memoryless models where errors occur randomly and with a certain probability, and dynamic models where errors occur primarily in bursts. Consequently, error-detecting and correcting codes can be generally distinguished between random-error-detecting/correcting and burst-error-detecting/correcting. Some codes can also be suitable for a mixture of random errors and burst errors.

If the channel characteristics cannot be determined, or are highly variable, an error-detection scheme may be combined with a system for retransmissions of erroneous data. This is known as automatic repeat request (ARQ), and is most notably used in the Internet. An alternate approach for error control is hybrid automatic repeat request (HARQ), which is a combination of ARQ and error-correction coding.

Types of error correction[edit]

There are three major types of error correction:^[9]

Automatic repeat request[edit]

Automatic repeat request (ARQ) is an error control method for data transmission that makes use of error-detection codes, acknowledgment and/or negative acknowledgment messages, and timeouts to achieve reliable data transmission. An acknowledgment is a message sent by the receiver to indicate that it has correctly received a data frame.

Usually, when the transmitter does not receive the acknowledgment before the timeout occurs (i.e., within a reasonable amount of time after sending the data frame), it retransmits the frame until it is either correctly received or the error persists beyond a predetermined number of retransmissions.

Three types of ARQ protocols are Stop-and-wait ARQ, Go-Back-N ARQ, and Selective Repeat ARQ.

ARQ is appropriate if the communication channel has varying or unknown capacity, such as is the case on the Internet. However, ARQ requires the availability of a back channel, results in possibly increased latency due to retransmissions, and requires the maintenance of buffers and timers for retransmissions, which in the case of network congestion can put a strain on the server and overall network capacity.^[10]

For example, ARQ is used on shortwave radio data links in the form of ARQ-E, or combined with multiplexing as ARQ-M.

Forward error correction[edit]

Forward error correction (FEC) is a process of adding redundant data such as an error-correcting code (ECC) to a message so that it can be recovered by a receiver even when a number of errors (up to the capability of the code being used) are introduced, either during the process of transmission or on storage. Since the receiver does not have to ask the sender for retransmission of the data, a backchannel is not required in forward error correction. Error-correcting codes are used in lower-layer communication such as cellular network, high-speed fiber-optic communication and Wi-Fi,^[11]^[12] as well as for reliable storage in media such as flash memory, hard disk and RAM.^[13]

Error-correcting codes are usually distinguished between convolutional codes and block codes:

Convolutional codes are processed on a bit-by-bit basis. They are particularly suitable for implementation in hardware, and the Viterbi decoder allows optimal decoding.
Block codes are processed on a block-by-block basis. Early examples of block codes are repetition codes, Hamming codes and multidimensional parity-check codes. They were followed by a number of efficient codes, Reed–Solomon codes being the most notable due to their current widespread use. Turbo codes and low-density parity-check codes (LDPC) are relatively new constructions that can provide almost optimal efficiency.

Shannon’s theorem is an important theorem in forward error correction, and describes the maximum information rate at which reliable communication is possible over a channel that has a certain error probability or signal-to-noise ratio (SNR). This strict upper limit is expressed in terms of the channel capacity. More specifically, the theorem says that there exist codes such that with increasing encoding length the probability of error on a discrete memoryless channel can be made arbitrarily small, provided that the code rate is smaller than the channel capacity. The code rate is defined as the fraction k/n of k source symbols and n encoded symbols.

The actual maximum code rate allowed depends on the error-correcting code used, and may be lower. This is because Shannon’s proof was only of existential nature, and did not show how to construct codes that are both optimal and have efficient encoding and decoding algorithms.

Hybrid schemes[edit]

Hybrid ARQ is a combination of ARQ and forward error correction. There are two basic approaches:^[10]

Messages are always transmitted with FEC parity data (and error-detection redundancy). A receiver decodes a message using the parity information and requests retransmission using ARQ only if the parity data was not sufficient for successful decoding (identified through a failed integrity check).
Messages are transmitted without parity data (only with error-detection information). If a receiver detects an error, it requests FEC information from the transmitter using ARQ and uses it to reconstruct the original message.

The latter approach is particularly attractive on an erasure channel when using a rateless erasure code.

Types of error detection[edit]

Error detection is most commonly realized using a suitable hash function (or specifically, a checksum, cyclic redundancy check or other algorithm). A hash function adds a fixed-length tag to a message, which enables receivers to verify the delivered message by recomputing the tag and comparing it with the one provided.

There exists a vast variety of different hash function designs. However, some are of particularly widespread use because of either their simplicity or their suitability for detecting certain kinds of errors (e.g., the cyclic redundancy check’s performance in detecting burst errors).

Minimum distance coding[edit]

A random-error-correcting code based on minimum distance coding can provide a strict guarantee on the number of detectable errors, but it may not protect against a preimage attack.

Repetition codes[edit]

A repetition code is a coding scheme that repeats the bits across a channel to achieve error-free communication. Given a stream of data to be transmitted, the data are divided into blocks of bits. Each block is transmitted some predetermined number of times. For example, to send the bit pattern 1011, the four-bit block can be repeated three times, thus producing 1011 1011 1011. If this twelve-bit pattern was received as 1010 1011 1011 – where the first block is unlike the other two – an error has occurred.

A repetition code is very inefficient and can be susceptible to problems if the error occurs in exactly the same place for each group (e.g., 1010 1010 1010 in the previous example would be detected as correct). The advantage of repetition codes is that they are extremely simple, and are in fact used in some transmissions of numbers stations.^[14]^[15]

Parity bit[edit]

A parity bit is a bit that is added to a group of source bits to ensure that the number of set bits (i.e., bits with value 1) in the outcome is even or odd. It is a very simple scheme that can be used to detect single or any other odd number (i.e., three, five, etc.) of errors in the output. An even number of flipped bits will make the parity bit appear correct even though the data is erroneous.

Parity bits added to each word sent are called transverse redundancy checks, while those added at the end of a stream of words are called longitudinal redundancy checks. For example, if each of a series of m-bit words has a parity bit added, showing whether there were an odd or even number of ones in that word, any word with a single error in it will be detected. It will not be known where in the word the error is, however. If, in addition, after each stream of n words a parity sum is sent, each bit of which shows whether there were an odd or even number of ones at that bit-position sent in the most recent group, the exact position of the error can be determined and the error corrected. This method is only guaranteed to be effective, however, if there are no more than 1 error in every group of n words. With more error correction bits, more errors can be detected and in some cases corrected.

There are also other bit-grouping techniques.

Checksum[edit]

A checksum of a message is a modular arithmetic sum of message code words of a fixed word length (e.g., byte values). The sum may be negated by means of a ones’-complement operation prior to transmission to detect unintentional all-zero messages.

Checksum schemes include parity bits, check digits, and longitudinal redundancy checks. Some checksum schemes, such as the Damm algorithm, the Luhn algorithm, and the Verhoeff algorithm, are specifically designed to detect errors commonly introduced by humans in writing down or remembering identification numbers.

Cyclic redundancy check[edit]

A cyclic redundancy check (CRC) is a non-secure hash function designed to detect accidental changes to digital data in computer networks. It is not suitable for detecting maliciously introduced errors. It is characterized by specification of a generator polynomial, which is used as the divisor in a polynomial long division over a finite field, taking the input data as the dividend. The remainder becomes the result.

A CRC has properties that make it well suited for detecting burst errors. CRCs are particularly easy to implement in hardware and are therefore commonly used in computer networks and storage devices such as hard disk drives.

The parity bit can be seen as a special-case 1-bit CRC.

Cryptographic hash function[edit]

The output of a cryptographic hash function, also known as a message digest, can provide strong assurances about data integrity, whether changes of the data are accidental (e.g., due to transmission errors) or maliciously introduced. Any modification to the data will likely be detected through a mismatching hash value. Furthermore, given some hash value, it is typically infeasible to find some input data (other than the one given) that will yield the same hash value. If an attacker can change not only the message but also the hash value, then a keyed hash or message authentication code (MAC) can be used for additional security. Without knowing the key, it is not possible for the attacker to easily or conveniently calculate the correct keyed hash value for a modified message.

Error correction code[edit]

Any error-correcting code can be used for error detection. A code with minimum Hamming distance, d, can detect up to d − 1 errors in a code word. Using minimum-distance-based error-correcting codes for error detection can be suitable if a strict limit on the minimum number of errors to be detected is desired.

Codes with minimum Hamming distance d = 2 are degenerate cases of error-correcting codes and can be used to detect single errors. The parity bit is an example of a single-error-detecting code.

Applications[edit]

Applications that require low latency (such as telephone conversations) cannot use automatic repeat request (ARQ); they must use forward error correction (FEC). By the time an ARQ system discovers an error and re-transmits it, the re-sent data will arrive too late to be usable.

Applications where the transmitter immediately forgets the information as soon as it is sent (such as most television cameras) cannot use ARQ; they must use FEC because when an error occurs, the original data is no longer available.

Applications that use ARQ must have a return channel; applications having no return channel cannot use ARQ.

Applications that require extremely low error rates (such as digital money transfers) must use ARQ due to the possibility of uncorrectable errors with FEC.

Reliability and inspection engineering also make use of the theory of error-correcting codes.^[16]

Internet[edit]

In a typical TCP/IP stack, error control is performed at multiple levels:

Each Ethernet frame uses CRC-32 error detection. Frames with detected errors are discarded by the receiver hardware.
The IPv4 header contains a checksum protecting the contents of the header. Packets with incorrect checksums are dropped within the network or at the receiver.
The checksum was omitted from the IPv6 header in order to minimize processing costs in network routing and because current link layer technology is assumed to provide sufficient error detection (see also RFC 3819).
UDP has an optional checksum covering the payload and addressing information in the UDP and IP headers. Packets with incorrect checksums are discarded by the network stack. The checksum is optional under IPv4, and required under IPv6. When omitted, it is assumed the data-link layer provides the desired level of error protection.
TCP provides a checksum for protecting the payload and addressing information in the TCP and IP headers. Packets with incorrect checksums are discarded by the network stack and eventually get retransmitted using ARQ, either explicitly (such as through three-way handshake) or implicitly due to a timeout.

Deep-space telecommunications[edit]

The development of error-correction codes was tightly coupled with the history of deep-space missions due to the extreme dilution of signal power over interplanetary distances, and the limited power availability aboard space probes. Whereas early missions sent their data uncoded, starting in 1968, digital error correction was implemented in the form of (sub-optimally decoded) convolutional codes and Reed–Muller codes.^[17] The Reed–Muller code was well suited to the noise the spacecraft was subject to (approximately matching a bell curve), and was implemented for the Mariner spacecraft and used on missions between 1969 and 1977.

The Voyager 1 and Voyager 2 missions, which started in 1977, were designed to deliver color imaging and scientific information from Jupiter and Saturn.^[18] This resulted in increased coding requirements, and thus, the spacecraft were supported by (optimally Viterbi-decoded) convolutional codes that could be concatenated with an outer Golay (24,12,8) code. The Voyager 2 craft additionally supported an implementation of a Reed–Solomon code. The concatenated Reed–Solomon–Viterbi (RSV) code allowed for very powerful error correction, and enabled the spacecraft’s extended journey to Uranus and Neptune. After ECC system upgrades in 1989, both crafts used V2 RSV coding.

The Consultative Committee for Space Data Systems currently recommends usage of error correction codes with performance similar to the Voyager 2 RSV code as a minimum. Concatenated codes are increasingly falling out of favor with space missions, and are replaced by more powerful codes such as Turbo codes or LDPC codes.

The different kinds of deep space and orbital missions that are conducted suggest that trying to find a one-size-fits-all error correction system will be an ongoing problem. For missions close to Earth, the nature of the noise in the communication channel is different from that which a spacecraft on an interplanetary mission experiences. Additionally, as a spacecraft increases its distance from Earth, the problem of correcting for noise becomes more difficult.

Satellite broadcasting[edit]

The demand for satellite transponder bandwidth continues to grow, fueled by the desire to deliver television (including new channels and high-definition television) and IP data. Transponder availability and bandwidth constraints have limited this growth. Transponder capacity is determined by the selected modulation scheme and the proportion of capacity consumed by FEC.

Data storage[edit]

Error detection and correction codes are often used to improve the reliability of data storage media.^[19] A parity track capable of detecting single-bit errors was present on the first magnetic tape data storage in 1951. The optimal rectangular code used in group coded recording tapes not only detects but also corrects single-bit errors. Some file formats, particularly archive formats, include a checksum (most often CRC32) to detect corruption and truncation and can employ redundancy or parity files to recover portions of corrupted data. Reed-Solomon codes are used in compact discs to correct errors caused by scratches.

Modern hard drives use Reed–Solomon codes to detect and correct minor errors in sector reads, and to recover corrupted data from failing sectors and store that data in the spare sectors.^[20] RAID systems use a variety of error correction techniques to recover data when a hard drive completely fails. Filesystems such as ZFS or Btrfs, as well as some RAID implementations, support data scrubbing and resilvering, which allows bad blocks to be detected and (hopefully) recovered before they are used.^[21] The recovered data may be re-written to exactly the same physical location, to spare blocks elsewhere on the same piece of hardware, or the data may be rewritten onto replacement hardware.

Error-correcting memory[edit]

Dynamic random-access memory (DRAM) may provide stronger protection against soft errors by relying on error-correcting codes. Such error-correcting memory, known as ECC or EDAC-protected memory, is particularly desirable for mission-critical applications, such as scientific computing, financial, medical, etc. as well as extraterrestrial applications due to the increased radiation in space.

Error-correcting memory controllers traditionally use Hamming codes, although some use triple modular redundancy. Interleaving allows distributing the effect of a single cosmic ray potentially upsetting multiple physically neighboring bits across multiple words by associating neighboring bits to different words. As long as a single-event upset (SEU) does not exceed the error threshold (e.g., a single error) in any particular word between accesses, it can be corrected (e.g., by a single-bit error-correcting code), and the illusion of an error-free memory system may be maintained.^[22]

In addition to hardware providing features required for ECC memory to operate, operating systems usually contain related reporting facilities that are used to provide notifications when soft errors are transparently recovered. One example is the Linux kernel’s EDAC subsystem (previously known as Bluesmoke), which collects the data from error-checking-enabled components inside a computer system; besides collecting and reporting back the events related to ECC memory, it also supports other checksumming errors, including those detected on the PCI bus.^[23]^[24]^[25] A few systems^[specify] also support memory scrubbing to catch and correct errors early before they become unrecoverable.

References[edit]

^ ^a ^b «Masorah». Jewish Encyclopedia.
^ Pratico, Gary D.; Pelt, Miles V. Van (2009). Basics of Biblical Hebrew Grammar: Second Edition. Zondervan. ISBN 978-0-310-55882-8.
^ Mounce, William D. (2007). Greek for the Rest of Us: Using Greek Tools Without Mastering Biblical Languages. Zondervan. p. 289. ISBN 978-0-310-28289-1.
^ Mishneh Torah, Tefillin, Mezuzah, and Sefer Torah, 1:2. Example English translation: Eliyahu Touger. The Rambam’s Mishneh Torah. Moznaim Publishing Corporation.
^ Brian M. Fagan (5 December 1996). «Dead Sea Scrolls». The Oxford Companion to Archaeology. Oxford University Press. ISBN 0195076184.
^ Thompson, Thomas M. (1983), From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, The Carus Mathematical Monographs (#21), The Mathematical Association of America, p. vii, ISBN 0-88385-023-0
^ Shannon, C.E. (1948), «A Mathematical Theory of Communication», Bell System Technical Journal, 27 (3): 379–423, doi:10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x, hdl:10338.dmlcz/101429, PMID 9230594
^ Golay, Marcel J. E. (1949), «Notes on Digital Coding», Proc.I.R.E. (I.E.E.E.), 37: 657
^ Gupta, Vikas; Verma, Chanderkant (November 2012). «Error Detection and Correction: An Introduction». International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering. 2 (11). S2CID 17499858.
^ ^a ^b A. J. McAuley, Reliable Broadband Communication Using a Burst Erasure Correcting Code, ACM SIGCOMM, 1990.
^ Shah, Pradeep M.; Vyavahare, Prakash D.; Jain, Anjana (September 2015). «Modern error correcting codes for 4G and beyond: Turbo codes and LDPC codes». 2015 Radio and Antenna Days of the Indian Ocean (RADIO). pp. 1–2. doi:10.1109/RADIO.2015.7323369. ISBN 978-9-9903-7339-4. S2CID 28885076. Retrieved 22 May 2022.
^ «IEEE SA — IEEE 802.11ac-2013». IEEE Standards Association.
^ «Transition to Advanced Format 4K Sector Hard Drives | Seagate US». Seagate.com. Retrieved 22 May 2022.
^ Frank van Gerwen. «Numbers (and other mysterious) stations». Archived from the original on 12 July 2017. Retrieved 12 March 2012.
^ Gary Cutlack (25 August 2010). «Mysterious Russian ‘Numbers Station’ Changes Broadcast After 20 Years». Gizmodo. Archived from the original on 5 July 2017. Retrieved 12 March 2012.
^ Ben-Gal I.; Herer Y.; Raz T. (2003). «Self-correcting inspection procedure under inspection errors» (PDF). IIE Transactions. IIE Transactions on Quality and Reliability, 34(6), pp. 529-540. Archived from the original (PDF) on 2013-10-13. Retrieved 2014-01-10.
^ K. Andrews et al., The Development of Turbo and LDPC Codes for Deep-Space Applications, Proceedings of the IEEE, Vol. 95, No. 11, Nov. 2007.
^ Huffman, William Cary; Pless, Vera S. (2003). Fundamentals of Error-Correcting Codes. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78280-7.
^ Kurtas, Erozan M.; Vasic, Bane (2018-10-03). Advanced Error Control Techniques for Data Storage Systems. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3649-7.^{[permanent dead link]}
^ Scott A. Moulton. «My Hard Drive Died». Archived from the original on 2008-02-02.
^ Qiao, Zhi; Fu, Song; Chen, Hsing-Bung; Settlemyer, Bradley (2019). «Building Reliable High-Performance Storage Systems: An Empirical and Analytical Study». 2019 IEEE International Conference on Cluster Computing (CLUSTER). pp. 1–10. doi:10.1109/CLUSTER.2019.8891006. ISBN 978-1-7281-4734-5. S2CID 207951690.
^ «Using StrongArm SA-1110 in the On-Board Computer of Nanosatellite». Tsinghua Space Center, Tsinghua University, Beijing. Archived from the original on 2011-10-02. Retrieved 2009-02-16.
^ Jeff Layton. «Error Detection and Correction». Linux Magazine. Retrieved 2014-08-12.
^ «EDAC Project». bluesmoke.sourceforge.net. Retrieved 2014-08-12.
^ «Documentation/edac.txt». Linux kernel documentation. kernel.org. 2014-06-16. Archived from the original on 2009-09-05. Retrieved 2014-08-12.

External links[edit]

The on-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, by David J.C. MacKay, contains chapters on elementary error-correcting codes; on the theoretical limits of error-correction; and on the latest state-of-the-art error-correcting codes, including low-density parity-check codes, turbo codes, and fountain codes.
ECC Page — implementations of popular ECC encoding and decoding routines

Источник

Компьютер при
передаче данных между устройствами и
при выполнении вычислений может делать
ошибки из-за сбоев и отказов аппаратуры.
Если компьютер не оснащен средствами
для обнаружения и исправления ошибок,
то необнаруженные ошибки приводят к
сколь угодно серьезным искажениям
результатов вычислений, и компьютер
становится источником дезинформации
пользователей. В связи с этим большинство
компьютеров оснащаются средствами,
обеспечивающими контроль работоспособности
аппаратуры компьютеров за счет увеличения
длины байтов, слов и сегментов данных
на некоторое число битов, с помощью
которых обеспечивается возможность
обнаружения и исправления ошибок в
передаваемых и обрабатываемых данных,
т.е. за счет использования специальным
образом представленных данных –
кодированных
байтов, слов
и сегментов.

Наиболее простой
способ кодирования данных – присоединение
к данным одного бита
четности.
Например, байт данных представляется
двоичной последовательностью

10110011.

Бит четности
формируется за счет присоединения к
байту одного бита, формируемого следующим
образом: если число единиц в байте четно,
то бит четности равен 0, если число единиц
в байте нечетно, то бит четности равен
1. Таким образом, указанный байт с битом
четности имеет следующую структуру:

10110011 1 ,

Байт Бит

четности

где бит имеет
значение 1. Ясно, что при указанном
правиле вычисления значения бита
четности, число битов в кодированном
байте всегда четно, в результате чего
всякая одиночная ошибка в кодированном
байте будет обнаружена. Впрочем, будут
обнаружены и 3-, 5-, 7- и 9-кратные ошибки,
но не поддаются обнаружению 2-, 4- и 8-
кратные ошибки. Бит четности формируется
аппаратурой компьютера крайне просто
и обеспечивает защиту от многих ошибок.

Для обнаружения
и исправления ошибок теория информации
предлагает значительное число различных
методов. Ясно, что с увеличением длины
данных, определяемой длиной битов в
данных, должно увеличиваться число
контрольных разрядов, присоединяемых
к данным для обнаружения и исправления
ошибок. Число контрольных разрядов,
необходимое для кода, способного
обнаруживать и исправлять ошибки по
методу Хэмминга, представлено в табл.
3.1.

Таблица 3.1.Число
контрольных разрядов кода, способного
обнаруживать и исправлять ошибки

Длина данных, бит	Количество контрольных разрядов, бит	Общая длина данных, бит	Увеличение длины данных, %
8	4	12	50
16	5	21	31
32	6	38	19
64	7	71	11
128	8	136	6
256	9	265	4
512	10	522	2
1024	11	1035	1

Из таблицы видно,
что для обнаружения и исправления
одиночной ошибки к байту данных необходимо
добавить четыре контрольных разряда,
в результате чего длина кодирование
сегмента данных будет равна 12 разрядам
при увеличении длины кодирования
сегмента на 50%. Из последующих строк
таблицы видно, что при увеличении длины
сегмента в 2 раза, количество контрольных
разрядов увеличивается только на
единицу, в результате чего процент
увеличения длины данных уменьшается.
При длине данных 1024 битов для исправления
одиночных ошибок необходимо всего 11
разрядов, что приводит к увеличению
длины контрольного сегмента всего на
1%. Естественно, что затраты оборудования
для обнаружения и исправления единственной
ошибки по методу Хэмминга значительно
больше затрат оборудования при
использовании бита четности. Однако
при этом достигается существенный
эффект – возможность исправления одной
ошибки в работе компьютера.

Наряду с кодами
Хэмминга, обеспечивающими обнаружение
и исправление одной, двух и более ошибок
в кодированных словах, широкое применение
получили циклические коды, имеющие
широкие возможности обнаружения и
исправления при сложной картине
многократных помех и достаточно простых
способах построения систем контроля
кодированных слов. Кодированные слова
используются и для контроля арифметических
и логических операций, выполняемых
процессором. Таким образом, существует
широкая гамма методов защиты устройств
компьютеров от всякого рода искажений
обрабатываемых и передаваемых данных,
но любые системы защиты не дают 100%
гарантии в результативности методов
защиты.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Обнаруже́ние оши́бок в технике связи — действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) — процедура восстановления информации после чтения её из устройства хранения или канала связи.

Для обнаружения ошибок используют коды обнаружения ошибок, для исправления — корректирующие коды (коды, исправляющие ошибки, коды с коррекцией ошибок, помехоустойчивые коды).

Содержание

1 Способы борьбы с ошибками
2 Коды обнаружения и исправления ошибок
- 2.1 Блоковые коды
  - 2.1.1 Линейные коды общего вида
    - 2.1.1.1 Минимальное расстояние и корректирующая способность
    - 2.1.1.2 Коды Хемминга
    - 2.1.1.3 Общий метод декодирования линейных кодов
  - 2.1.2 Линейные циклические коды
    - 2.1.2.1 Порождающий (генераторный) полином
    - 2.1.2.2 Коды CRC
    - 2.1.2.3 Коды БЧХ
    - 2.1.2.4 Коды коррекции ошибок Рида — Соломона
  - 2.1.3 Преимущества и недостатки блоковых кодов
- 2.2 Свёрточные коды
  - 2.2.1 Преимущества и недостатки свёрточных кодов
- 2.3 Каскадное кодирование. Итеративное декодирование
- 2.4 Сетевое кодирование
- 2.5 Оценка эффективности кодов
  - 2.5.1 Граница Хемминга и совершенные коды
  - 2.5.2 Энергетический выигрыш
- 2.6 Применение кодов, исправляющих ошибки
3 Автоматический запрос повторной передачи
- 3.1 Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)
- 3.2 Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)
- 3.3 Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)
4 См. также
5 Литература
6 Ссылки

Способы борьбы с ошибками[править | править код]

В процессе хранения данных и передачи информации по сетям связи неизбежно возникают ошибки. Контроль целостности данных и исправление ошибок — важные задачи на многих уровнях работы с информацией (в частности, физическом, канальном, транспортном уровнях сетевой модели OSI).

В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:

обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи повреждённых блоков — этот подход применяется, в основном, на канальном и транспортном уровнях;
обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание повреждённых блоков — такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
исправление ошибок (англ. forward error correction) применяется на физическом уровне.

Коды обнаружения и исправления ошибок[править | править код]

Корректирующие коды — коды, служащие для обнаружения или исправления ошибок, возникающих при передаче информации под влиянием помех, а также при её хранении.

Для этого при записи (передаче) в полезные данные добавляют специальным образом структурированную избыточную информацию (контрольное число), а при чтении (приёме) её используют для того, чтобы обнаружить или исправить ошибки. Естественно, что число ошибок, которое можно исправить, ограничено и зависит от конкретного применяемого кода.

С кодами, исправляющими ошибки, тесно связаны коды обнаружения ошибок. В отличие от первых, последние могут только установить факт наличия ошибки в переданных данных, но не исправить её.

В действительности используемые коды обнаружения ошибок принадлежат к тем же классам кодов, что и коды, исправляющие ошибки. Фактически любой код, исправляющий ошибки, может быть также использован для обнаружения ошибок (при этом он будет способен обнаружить большее число ошибок, чем был способен исправить).

По способу работы с данными коды, исправляющие ошибки, делятся на блоковые, делящие информацию на фрагменты постоянной длины и обрабатывающие каждый из них в отдельности, и свёрточные, работающие с данными как с непрерывным потоком.

Блоковые коды[править | править код]

Пусть кодируемая информация делится на фрагменты длиной бит, которые преобразуются в кодовые слова длиной бит. Тогда соответствующий блоковый код обычно обозначают $(n,\;k)$ . При этом число $R=\frac{k}{n}$ называется скоростью кода.

Если исходные бит код оставляет неизменными, и добавляет n-k проверочных, такой код называется систематическим, иначе — несистематическим.

Задать блоковый код можно по-разному, в том числе таблицей, где каждой совокупности из информационных бит сопоставляется бит кодового слова. Однако хороший код должен удовлетворять как минимум следующим критериям:

способность исправлять как можно большее число ошибок,
как можно меньшая избыточность,
простота кодирования и декодирования.

Нетрудно видеть, что приведённые требования противоречат друг другу. Именно поэтому существует большое количество кодов, каждый из которых пригоден для своего круга задач.

Практически все используемые коды являются линейными. Это связано с тем, что нелинейные коды значительно сложнее исследовать, и для них трудно обеспечить приемлемую лёгкость кодирования и декодирования.

Линейные коды общего вида[править | править код]

Линейный блоковый код — такой код, что множество его кодовых слов образует -мерное линейное подпространство (назовём его ) в -мерном линейном пространстве, изоморфное пространству -битных векторов.

Это значит, что операция кодирования соответствует умножению исходного -битного вектора на невырожденную матрицу , называемую порождающей матрицей.

Пусть $C^{\perp}$ — ортогональное подпространство по отношению к , а — матрица, задающая базис этого подпространства. Тогда для любого вектора $\overrightarrow{v}\in C$ справедливо:

$\overrightarrow{v}H^T=\overrightarrow{0}.$

Минимальное расстояние и корректирующая способность[править | править код]

Расстоянием Хемминга (метрикой Хемминга) между двумя кодовыми словами $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ называется количество отличных бит на соответствующих позициях:

$d_H(\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v})=\sum_s{|u^{(s)}-v^{(s)}|}$

Минимальное расстояние Хемминга $d_\min=\min_{u\ne v}d_H(\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v})$ является важной характеристикой линейного блокового кода. Она показывает, насколько «далеко» расположены коды друг от друга. Она определяет другую, не менее важную характеристику — корректирующую способность:

$t=\left\lfloor\frac{d_\min-1}{2}\right\rfloor$

Корректирующая способность определяет, сколько ошибок передачи кода (типа $1\leftrightarrow 0$ ) можно гарантированно исправить. То есть вокруг каждого кодового слова имеем -окрестность A_t , которая состоит из всех возможных вариантов передачи кодового слова с числом ошибок ( $1\leftrightarrow 0$ ) не более . Никакие две окрестности двух любых кодовых слов не пересекаются друг с другом, так как расстояние между кодовыми словами (то есть центрами этих окрестностей) всегда больше двух их радиусов $d_H(A,\;B)\geqslant d_\min>2t$ .

Таким образом, получив искажённую кодовую комбинацию из A_t , декодер принимает решение, что исходной была кодовая комбинация , исправляя тем самым не более ошибок.

Поясним на примере. Предположим, что есть два кодовых слова и , расстояние Хемминга между ними равно 3. Если было передано слово , и канал внёс ошибку в одном бите, она может быть исправлена, так как даже в этом случае принятое слово ближе к кодовому слову , чем к любому другому, и, в частности, к . Но если каналом были внесены ошибки в двух битах (в которых отличалось от ), то результат ошибочной передачи окажется ближе к , чем , и декодер примет решение, что передавалось слово .

Коды Хемминга[править | править код]

Коды Хемминга — простейшие линейные коды с минимальным расстоянием 3, то есть способные исправить одну ошибку. Код Хемминга может быть представлен в таком виде, что синдром

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{r}H^T$

, где $\overrightarrow{r}$

— принятый вектор, будет равен номеру позиции, в которой произошла ошибка. Это свойство позволяет сделать декодирование очень простым.

Общий метод декодирования линейных кодов[править | править код]

Любой код (в том числе нелинейный) можно декодировать с помощью обычной таблицы, где каждому значению принятого слова $\overrightarrow{r}_i$ соответствует наиболее вероятное переданное слово $\overrightarrow{u}_i$ . Однако данный метод требует применения огромных таблиц уже для кодовых слов сравнительно небольшой длины.

Для линейных кодов этот метод можно существенно упростить. При этом для каждого принятого вектора $\overrightarrow{r}_i$ вычисляется синдром $\overrightarrow{s}_i=\overrightarrow{r}_i H^T$ . Поскольку $\overrightarrow{r}_i=\overrightarrow{v}_i+\overrightarrow{e}_i$ , где $\overrightarrow{v}_i$ — кодовое слово, а $\overrightarrow{e}_i$ — вектор ошибки, то $\overrightarrow{s}_i=\overrightarrow{e}_i H^T$ . Затем с помощью таблицы по синдрому определяется вектор ошибки, с помощью которого определяется переданное кодовое слово. При этом таблица получается гораздо меньше, чем при использовании предыдущего метода.

Линейные циклические коды[править | править код]

Несмотря на то, что декодирование линейных кодов значительно проще декодирования большинства нелинейных, для большинства кодов этот процесс всё ещё достаточно сложен. Циклические коды, кроме более простого декодирования, обладают и другими важными свойствами.

Циклическим кодом является линейный код, обладающий следующим свойством: если $\overrightarrow{v}$ является кодовым словом, то его циклическая перестановка также является кодовым словом.

Слова циклического кода удобно представлять в виде многочленов. Например, кодовое слово $\overrightarrow{v}=(v_0,\;v_1,\;\ldots,\;v_{n-1})$ представляется в виде полинома $v(x)=v_0+v_1 x+\ldots+v_{n-1}x^{n-1}$ . При этом циклический сдвиг кодового слова эквивалентен умножению многочлена на по модулю x^n-1 .

В дальнейшем, если не указано иное, мы будем считать, что циклический код является двоичным, то есть $v_0,\;v_1,\;\ldots$ могут принимать значения 0 или 1.

Порождающий (генераторный) полином[править | править код]

Можно показать, что все кодовые слова конкретного циклического кода кратны определённому порождающему полиному g(x) . Порождающий полином является делителем x^n-1 .

С помощью порождающего полинома осуществляется кодирование циклическим кодом. В частности:

Коды CRC[править | править код]

Коды CRC (англ. cyclic redundancy check — циклическая избыточная проверка) являются систематическими кодами, предназначенными не для исправления ошибок, а для их обнаружения. Они используют способ систематического кодирования, изложенный выше: «контрольная сумма» вычисляется путём деления $x^{n-k}u(x)$ на g(x) . Ввиду того, что исправление ошибок не требуется, проверка правильности передачи может производиться точно так же.

Таким образом, вид полинома g(x) задаёт конкретный код CRC. Примеры наиболее популярных полиномов:

Название кода	Степень	Полином
CRC-12	12	$x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1$
CRC-16	16	$x^{16}+x^{15}+x^{2}+1$
CRC-CCITT	16	$x^{16}+x^{12}+x^{5}+1$
CRC-32	32	$x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1$

Коды БЧХ[править | править код]

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ) являются подклассом циклических кодов. Их отличительное свойство — возможность построения кода БЧХ с минимальным расстоянием не меньше заданного. Это важно, потому что, вообще говоря, определение минимального расстояния кода есть очень сложная задача.

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона[править | править код]

Коды Рида — Соломона — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида-Соломона, работающие с байтами (октетами).

Математически коды Рида — Соломона являются кодами БЧХ.

Преимущества и недостатки блоковых кодов[править | править код]

Хотя блоковые коды, как правило, хорошо справляются с редкими, но большими пачками ошибок, их эффективность при частых, но небольших ошибках (например, в канале с АБГШ), менее высока.

Свёрточные коды[править | править код]

Свёрточный кодер ( $k=7,\;R=1/2$ )

Свёрточные коды, в отличие от блоковых, не делят информацию на фрагменты и работают с ней как со сплошным потоком данных.

Свёрточные коды, как правило, порождаются дискретной линейной инвариантной во времени системой. Поэтому, в отличие от большинства блоковых кодов, свёрточное кодирование — очень простая операция, чего нельзя сказать о декодировании.

Кодирование свёрточным кодом производится с помощью регистра сдвига, отводы от которого суммируются по модулю два. Таких сумм может быть две (чаще всего) или больше.

Декодирование свёрточных кодов, как правило, производится по алгоритму Витерби, который пытается восстановить переданную последовательность согласно критерию максимального правдоподобия.

Преимущества и недостатки свёрточных кодов[править | править код]

Свёрточные коды эффективно работают в канале с белым шумом, но плохо справляются с пакетами ошибок. Более того, если декодер ошибается, на его выходе всегда возникает пакет ошибок.

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование[править | править код]

Преимущества разных способов кодирования можно объединить, применив каскадное кодирование. При этом информация сначала кодируется одним кодом, а затем другим, в результате получается код-произведение.

Например, популярной является следующая конструкция: данные кодируются кодом Рида-Соломона, затем перемежаются (при этом символы, расположенные близко, помещаются далеко друг от друга) и кодируются свёрточным кодом. На приёмнике сначала декодируется свёрточный код, затем осуществляется обратное перемежение (при этом пачки ошибок на выходе свёрточного декодера попадают в разные кодовые слова кода Рида — Соломона), и затем осуществляется декодирование кода Рида — Соломона.

Некоторые коды-произведения специально сконструированы для итеративного декодирования, при котором декодирование осуществляется в несколько проходов, каждый из которых использует информацию от предыдущего. Это позволяет добиться большой эффективности, однако декодирование требует больших ресурсов. К таким кодам относят турбо-коды и LDPC-коды (коды Галлагера).

Сетевое кодирование[править | править код]

Оценка эффективности кодов[править | править код]

Эффективность кодов определяется количеством ошибок, которые тот может исправить, количеством избыточной информации, добавление которой требуется, а также сложностью реализации кодирования и декодирования (как аппаратной, так и в виде программы для ЭВМ).

Граница Хемминга и совершенные коды[править | править код]

Пусть имеется двоичный блоковый (n,k) код с корректирующей способностью . Тогда справедливо неравенство (называемое границей Хемминга):

$\sum_{i=0}^t {n\choose i}\leqslant 2^{n-k}.$

Коды, удовлетворяющие этой границе с равенством, называются совершенными. К совершенным кодам относятся, например, коды Хемминга. Часто применяемые на практике коды с большой корректирующей способностью (такие, как коды Рида — Соломона) не являются совершенными.

Энергетический выигрыш[править | править код]

При передаче информации по каналу связи вероятность ошибки зависит от отношения сигнал/шум на входе демодулятора, таким образом, при постоянном уровне шума решающее значение имеет мощность передатчика. В системах спутниковой и мобильной, а также других типов связи остро стоит вопрос экономии энергии. Кроме того, в определённых системах связи (например, телефонной) неограниченно повышать мощность сигнала не дают технические ограничения.

Поскольку помехоустойчивое кодирование позволяет исправлять ошибки, при его применении мощность передатчика можно снизить, оставляя скорость передачи информации неизменной. Энергетический выигрыш определяется как разница отношений с/ш при наличии и отсутствии кодирования.

Применение кодов, исправляющих ошибки[править | править код]

Коды, исправляющие ошибки, применяются:

в системах цифровой связи, в том числе: спутниковой, радиорелейной, сотовой, передаче данных по телефонным каналам.
в системах хранения информации, в том числе магнитных и оптических.

Коды, обнаруживающие ошибки, применяются в сетевых протоколах различных уровней.

Автоматический запрос повторной передачи[править | править код]

Системы с автоматическим запросом повторной передачи (ARQ — Automatic Repeat reQuest) основаны на технологии обнаружения ошибок. Распространены следующие методы автоматического запроса:

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)[править | править код]

Идея этого метода заключается в том, что передатчик ожидает от приемника подтверждения успешного приема предыдущего блока данных перед тем, как начать передачу следующего. В случае, если блок данных был принят с ошибкой, приемник передает отрицательное подтверждение (negative acknowledgement, NAK), и передатчик повторяет передачу блока. Данный метод подходит для полудуплексного канала связи. Его недостатком является низкая скорость из-за высоких накладных расходов на ожидание.

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)[править | править код]

Для этого метода необходим полнодуплексный канал. Передача данных от передатчика к приемнику производится одновременно. В случае ошибки передача возобновляется, начиная с ошибочного блока (то есть передается ошибочный блок и все последующие).

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)[править | править код]

При этом подходе осуществляется передача только ошибочно принятых блоков данных.

См. также[править | править код]

Цифровая связь
Код ответа (Код причины завершения)
Линейный код
Циклический код
Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема
Код Рида — Соломона
LDPC
Свёрточный код
Турбо-код

Литература[править | править код]

Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки = Theory and Practice of Error Control Codes. — М.: Мир, 1986. — 576 с.
Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Радио и связь, 1979.
Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — 320 с. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0.

Ссылки[править | править код]

Помехоустойчивое кодирование (11 ноября 2001). — реферат по проблеме кодирования сообщений с исправлением ошибок. Проверено 25 декабря 2006. Архивировано 25 августа 2011 года.
Коды Рида-Соломона. Простой пример. Просто, доступно, на конкретных числах. Для начинающих.

Источник

Обнаружение ошибок в технике связи — действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) — процедура восстановления информации после чтения её из устройства хранения или канала связи.

Способы борьбы с ошибками[]

В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:

обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи повреждённых блоков — этот подход применяется в основном на канальном и транспортном уровнях;
обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание повреждённых блоков — такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
исправление ошибок (forward error correction) применяется на физическом уровне.

Коды обнаружения и исправления ошибок[]

В действительности, используемые коды обнаружения ошибок принадлежат к тем же классам кодов, что и коды, исправляющие ошибки. Фактически, любой код, исправляющий ошибки, может быть также использован для обнаружения ошибок (при этом он будет способен обнаружить большее число ошибок, чем был способен исправить).

По способу работы с данными коды, исправляющие ошибки делятся на блоковые, делящие информацию на фрагменты постоянной длины и обрабатывающие каждый из них в отдельности, и свёрточные, работающие с данными как с непрерывным потоком.

Блоковые коды[]

Пусть кодируемая информация делится на фрагменты длиной $k$ бит, которые преобразуются в кодовые слова длиной $n$ бит. Тогда соответствующий блоковый код обычно обозначают $(n,\;k)$ . При этом число $R={\frac {k}{n}}$ называется скоростью кода.

Если исходные $k$ бит код оставляет неизменными, и добавляет $n-k$ проверочных, такой код называется систематическим, иначе несистематическим.

Задать блоковый код можно по-разному, в том числе таблицей, где каждой совокупности из $k$ информационных бит сопоставляется $n$ бит кодового слова. Однако, хороший код должен удовлетворять, как минимум, следующим критериям:

способность исправлять как можно большее число ошибок,
как можно меньшая избыточность,
простота кодирования и декодирования.

Линейные коды общего вида[]

Линейный блоковый код — такой код, что множество его кодовых слов образует $k$ -мерное линейное подпространство (назовём его $C$ ) в $n$ -мерном линейном пространстве, изоморфное пространству $k$ -битных векторов.

Это значит, что операция кодирования соответствует умножению исходного $k$ -битного вектора на невырожденную матрицу $G$ , называемую порождающей матрицей.

Пусть $C^{\perp }$ — ортогональное подпространство по отношению к $C$ , а $H$ — матрица, задающая базис этого подпространства. Тогда для любого вектора ${\overrightarrow {v}}\in C$ справедливо:

${\overrightarrow {v}}H^{T}={\overrightarrow {0}}.$

Минимальное расстояние и корректирующая способность[]

Основная статья: Расстояние Хемминга

Расстоянием Хемминга (метрикой Хемминга) между двумя кодовыми словами ${\overrightarrow {u}}$ и ${\overrightarrow {v}}$ называется количество отличных бит на соответствующих позициях, $d_{H}({\overrightarrow {u}},\;{\overrightarrow {v}})=\sum _{s}{|u^{(s)}-v^{(s)}|}$ , что равно числу «единиц» в векторе ${\overrightarrow {u}}\oplus {\overrightarrow {v}}$ .

Минимальное расстояние Хемминга $d_{\min }=\min _{u\neq v}d_{H}({\overrightarrow {u}},\;{\overrightarrow {v}})$ является важной характеристикой линейного блокового кода. Она показывает насколько «далеко» расположены коды друг от друга. Она определяет другую, не менее важную характеристику — корректирующую способность:

$t=\left\lfloor {\frac {d_{\min }-1}{2}}\right\rfloor$

, округляем «вниз», так чтобы $2t<d_{\min }$

Корректирующая способность определяет, сколько ошибок передачи кода (типа $1\leftrightarrow 0$ ) можно гарантированно исправить. То есть вокруг каждого кода $A$ имеем $t$ -окрестность $A_{t}$ , которая состоит из всех возможных вариантов передачи кода $A$ с числом ошибок ( $1\leftrightarrow 0$ ) не более $t$ . Никакие две окрестности двух любых кодов не пересекаются друг с другом, так как расстояние между кодами (то есть центрами этих окрестностей) всегда больше двух их радиусов $d_{H}(A,\;B)\geqslant d_{\min }>2t$ .

Таким образом получив искажённый код из $A_{t}$ декодер принимает решение, что был исходный код $A$ , исправляя тем самым не более $t$ ошибок.

Поясним на примере. Предположим, что есть два кодовых слова $A$ и $B$ , расстояние Хемминга между ними равно 3. Если было передано слово $A$ , и канал внёс ошибку в одном бите, она может быть исправлена, так как даже в этом случае принятое слово ближе к кодовому слову $A$ , чем к любому другому, и в частности к $B$ . Но если каналом были внесены ошибки в двух битах (в которых $A$ отличалось от $B$ ) то результат ошибочной передачи $A$ окажется ближе к $B$ , чем $A$ , и декодер примет решение что передавалось слово $B$ .

Коды Хемминга[]

Коды Хемминга — простейшие линейные коды с минимальным расстоянием 3, то есть способные исправить одну ошибку. Код Хемминга может быть представлен в таком виде, что синдром

${\overrightarrow {s}}={\overrightarrow {r}}H^{T}$

, где ${\overrightarrow {r}}$

Общий метод декодирования линейных кодов[]

Любой код (в том числе нелинейный) можно декодировать с помощью обычной таблицы, где каждому значению принятого слова ${\overrightarrow {r}}_{i}$ соответствует наиболее вероятное переданное слово ${\overrightarrow {u}}_{i}$ . Однако, данный метод требует применения огромных таблиц уже для кодовых слов сравнительно небольшой длины.

Для линейных кодов этот метод можно существенно упростить. При этом для каждого принятого вектора ${\overrightarrow {r}}_{i}$ вычисляется синдром ${\overrightarrow {s}}_{i}={\overrightarrow {r}}_{i}H^{T}$ . Поскольку ${\overrightarrow {r}}_{i}={\overrightarrow {v}}_{i}+{\overrightarrow {e}}_{i}$ , где ${\overrightarrow {v}}_{i}$ — кодовое слово, а ${\overrightarrow {e}}_{i}$ — вектор ошибки, то ${\overrightarrow {s}}_{i}={\overrightarrow {e}}_{i}H^{T}$ . Затем с помощью таблицы по синдрому определяется вектор ошибки, с помощью которого определяется переданное кодовое слово. При этом таблица получается гораздо меньше, чем при использовании предыдущего метода.

Линейные циклические коды[]

Несмотря на то, что декодирование линейных кодов уже значительно проще декодирования большинства нелинейных, для большинства кодов этот процесс всё ещё достаточно сложен. Циклические коды, кроме более простого декодирования, обладают и другими важными свойствами.

Циклическим кодом является линейный код, обладающий следующим свойством: если ${\overrightarrow {v}}$ является кодовым словом, то его циклическая перестановка также является кодовым словом.

Слова циклического кода удобно представлять в виде многочленов. Например, кодовое слово ${\overrightarrow {v}}=(v_{0},\;v_{1},\;\ldots ,\;v_{n-1})$ представляется в виде полинома $v(x)=v_{0}+v_{1}x+\ldots +v_{n-1}x^{n-1}$ . При этом циклический сдвиг кодового слова эквивалентен умножению многочлена на $x$ по модулю $x^{n}-1$ .

В дальнейшем, если не указано иное, мы будем считать, что циклический код является двоичным, то есть $v_{0},\;v_{1},\;\ldots$ могут принимать значения 0 или 1.

Порождающий (генераторный) полином[]

Можно показать, что все кодовые слова конкретного циклического кода кратны определённому порождающему полиному $g(x)$ . Порождающий полином является делителем $x^{n}-1$ .

С помощью порождающего полинома осуществляется кодирование циклическим кодом. В частности:

Коды CRC[]

Коды CRC (cyclic redundancy check — циклическая избыточная проверка) являются систематическими кодами, предназначенными не для исправления ошибок, а для их обнаружения. Они используют способ систематического кодирования, изложенный выше: «контрольная сумма» вычисляется путем деления $x^{n-k}u(x)$ на $g(x)$ . Ввиду того, что исправление ошибок не требуется, проверка правильности передачи может производиться точно так же.

Таким образом, вид полинома $g(x)$ задаёт конкретный код CRC. Примеры наиболее популярных полиномов:

название кода	степень	полином
CRC-12	12	$x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1$
CRC-16	16	$x^{16}+x^{15}+x^{2}+1$
CRC-CCITT	16	$x^{16}+x^{12}+x^{5}+1$
CRC-32	32	$x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1$

Коды БЧХ[]

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ) являются подклассом циклических кодов. Их отличительное свойство — возможность построения кода БЧХ с минимальным расстоянием не меньше заданного. Это важно, потому что, вообще говоря, определение минимального расстояния кода есть очень сложная задача.

Математически полинома $g(x)$ на множители в поле Галуа.

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона[]

Коды Рида — Соломона — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида-Соломона, работающие с байтами (октетами).

Математически коды Рида — Соломона являются кодами БЧХ.

Преимущества и недостатки блоковых кодов[]

Свёрточные коды[]

Файл:ECC NASA standard coder.png

Свёрточный кодер ( $k=7,\;R=1/2$ )

Свёрточные коды, в отличие от блоковых, не делят информацию на фрагменты и работают с ней как со сплошным потоком данных.

Преимущества и недостатки свёрточных кодов[]

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование[]

Некоторые коды-произведения специально сконструированы для итеративного декодирования, при котором декодирование осуществляется в несколько проходов, каждый из которых использует информацию от предыдущего. Это позволяет добиться большой эффективности, однако, декодирование требует больших ресурсов. К таким кодам относят турбо-коды и LDPC-коды (коды Галлагера).

Оценка эффективности кодов[]

Граница Хемминга и совершенные коды[]

Основная статья: Граница Хэмминга

Пусть имеется двоичный блоковый $(n,k)$ код с корректирующей способностью $t$ . Тогда справедливо неравенство (называемое границей Хемминга):

$\sum _{i=0}^{t}{n \choose i}\leqslant 2^{n-k}.$

Энергетический выигрыш[]

При передаче информации по каналу связи вероятность ошибки зависит от отношения сигнал/шум на входе демодулятора, таким образом при постоянном уровне шума решающее значение имеет мощность передатчика. В системах спутниковой и мобильной, а также других типов связи остро стоит вопрос экономии энергии. Кроме того, в определённых системах связи (например, телефонной) неограниченно повышать мощность сигнала не дают технические ограничения.

Применение кодов, исправляющих ошибки[]

Коды, исправляющие ошибки, применяются:

в системах цифровой связи, в том числе: спутниковой, радиорелейной, сотовой, передаче данных по телефонным каналам.
в системах хранения информации, в том числе магнитных и оптических.

Коды, обнаруживающие ошибки, применяются в сетевых протоколах различных уровней.

Автоматический запрос повторной передачи[]

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)[]

Идея этого метода заключается в том, что передатчик ожидает от приемника подтверждения успешного приема предыдущего блока данных перед тем как начать передачу следующего. В случае, если блок данных был принят с ошибкой, приемник передает отрицательное подтверждение (negative acknowledgement, NAK), и передатчик повторяет передачу блока. Данный метод подходит для полудуплексного канала связи. Его недостатком является низкая скорость из-за высоких накладных расходов на ожидание.

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)[]

Для этого метода необходим полнодуплексный канал. Передача данных от передатчика к приемнику производится одновременно. В случае ошибки передача возобновляется, начиная с ошибочного блока (то есть, передается ошибочный блок и все последующие).

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)[]

При этом подходе осуществляется передача только ошибочно принятых блоков данных.

См. также[]

Цифровая связь
Линейный код
Циклический код
Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема
Код Рида — Соломона
LDPC
Свёрточный код
Турбо-код

Литература[]

Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Радио и связь, 1979.
Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М.: Мир, 1986.
Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2005. — ISBN 5-94836-035-0

Ссылки[]

Имеется викиучебник по теме:
Обнаружение и исправление ошибок

Помехоустойчивое кодирование (11 ноября 2001). — реферат по проблеме кодирования сообщений с исправлением ошибок. Проверено 25 декабря 2006.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Обнаружение и исправление ошибок. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Источник

6.5.1. Весовой коэффициент двоичных векторов и расстояние между ними

6.5.2. Минимальное расстояние для линейного кода

6.5.3. Обнаружение и исправление ошибок

6.5.3.1. Распределение весовых коэффициентов кодовых слов

6.5.3.2.Одновременное обнаружение и исправление ошибок

6.5.4. Визуализация пространства 6-кортежей

6.5.5. Коррекция со стиранием ошибок

6.5.1. Весовой коэффициент двоичных векторов и расстояние между ними

Конечно же, понятно, что правильно декодировать можно не все ошибочные комбинации. Возможности кода для исправления ошибок в первую очередь определяются его структурой. Весовой коэффициент Хэмминга (Hamming weight) w(U) кодового слова U определяется как число ненулевых элементов в U. Для двоичного вектора это эквивалентно числу единиц в векторе. Например, если U=100101101, то w(U) = 5. Расстояние Хэмминга (Hamming distance) между двумя кодовыми словами U и V, обозначаемое как d(U, V), определяется как количество элементов, которыми они отличаются.

U=100101101

V=011110100

d(U,V)=6

Согласно свойствам сложения по модулю 2, можно отметить, что сумма двух двоичных векторов является другим двоичным вектором, двоичные единицы которого расположены на тех позициях, которыми эти векторы отличаются.

U + V=111011001

Таким образом, можно видеть, что расстояние Хэмминга между двумя векторами равно весовому коэффициенту Хэмминга их суммы, т.е. d(U, V) = w(U + V). Также видно, что весовой коэффициент Хэмминга кодового слова равен его расстоянию Хэмминга до нулевого вектора.

6.5.2. Минимальное расстояние для линейного кода

Рассмотрим множество расстояний между всеми парами кодовых слой в пространстве Vn. Наименьший элемент этого множества называется минимальным расстоянием кода и обозначается dmin. Как вы думаете, почему нас интересует именно минимальное расстояние, а не максимальное? Минимальное расстояние подобно наиболее слабому звену в цепи, оно дает нам меру минимальных возможностей кода и, следовательно, характеризует его мощность.

Как обсуждалось ранее, сумма двух произвольных кодовых слов дает другой элемент пространства кодовых слов. Это свойство линейных кодов формулируется просто: если U и V — кодовые слова, то и W = U + V тоже должно быть кодовым словом. Следовательно, расстояние между двумя кодовыми словами равно весовому коэффициенту третьего кодового слова, т.е. d(U, V) = w(U + V) = w(W). Таким образом, минимальное расстояние линейного кода можно определить, не прибегая к изучению расстояний между всеми комбинациями пар кодовых слов. Нам нужно лишь определить вес каждого кодового слова (за исключением нулевого вектора) в подпространстве; минимальный вес соответствует минимальному расстоянию dmin. Иными словами, dmin соответствует наименьшему из множества расстояний между нулевым кодовым словом и всеми остальными кодовыми словами.

6.5.3. Обнаружение и исправление ошибок

Задача декодера после приема вектора r заключается в оценке переданного кодового слова Ui. Оптимальная стратегия декодирования может быть выражена в терминах алгоритма максимального правдоподобия (см. приложение Б); считается, что передано было слово Ui, если

(6.41)

Поскольку для двоичного симметричного канала (binary symmetric channel — BSC) правдоподобие Ui относительно r обратно пропорционально расстоянию между r и U, можно сказать, что передано было слово Ui, если

(6.42)

Другими словами, декодер определяет расстояние между r и всеми возможными переданными кодовыми словами Uj, после чего выбирает наиболее правдоподобное Uj, для которого

(6.43)

где М = 2^k — это размер множества кодовых слов. Если минимум не один, выбор между минимальными расстояниями является произвольным. Наше обсуждение метрики расстояний будет продолжено в главе 7.

На рис. 6.13 расстояние между двумя кодовыми словами U и V показано как расстояние Хэмминга. Каждая черная точка обозначает искаженное кодовое слово. На рис. 6.13, а проиллюстрирован прием вектора r1 находящегося на расстоянии 1 от кодового слова U и на расстоянии 4 от кодового слова V. Декодер с коррекцией ошибок, следуя стратегии максимального правдоподобия, выберет при принятом векторе r1 кодовое слово U. Если r1 получился в результате появления одного ошибочного бита в переданном векторе кода U, декодер успешно исправит ошибку. Но если же это произошло в результате 4-битовой ошибки в векторе кода V, декодирование будет ошибочным. Точно так же, как показано на рис. 6.13, б, двойная ошибка при передаче U может привести к тому, что в качестве переданного вектора будет ошибочно определен вектор r2, находящийся на расстоянии 2 от вектора U и на расстоянии 3 от вектора кода V. На рис. 6.13 показана ситуация, когда в качестве переданного вектора ошибочно определен вектор r3, который находится на расстоянии 3 от вектора кода U и на расстоянии 2 от вектора V. Из рис. 6.13 видно, что если задача состоит только в обнаружении ошибок, а не в их исправлении, то можно определить искаженный вектор — изображенный черной точкой и представляющий одно-, двух-, трех- и четырехбитовую ошибку. В то же время пять ошибок при передаче могут привести к приему кодового слова V, когда в действительности было передано кодовое слово U; такую ошибку невозможно будет обнаружить.

Из рис. 6.13 можно видеть, что способность кода к обнаружению и исправлению ошибок связана с минимальным расстоянием между кодовыми словами. Линия решения на рисунке служит той же цели, что и в процессе демодуляции, — для разграничения областей решения.

а)

б)

в)

Рис. 6.13. Возможности определения и исправления ошибок: а) принятый вектор r1; б) принятый вектор r2; в) принятый вектор r3

В примере, приведенном на рис. 6.13, критерий принятия решения может быть следующим: выбрать U, если r попадает в область 1, и выбрать V, если r попадает в область 2. Выше показывалось, что такой код (при dmin = 5) может исправить две ошибки. Вообще, способность кода к исправлению ошибок t определяется, как максимальное число гарантированно исправимых ошибок на кодовое слово, и записывается следующим образом [4].

(6.44)

Здесь означает наибольшее целое, не превышающее х. Часто код, который исправляет все искаженные символы, содержащие ошибку в t или меньшем числе бит, также может исправлять символы, содержащие t +1 ошибочных бит. Это можно увидеть на рис. 6.11. В этом случае dmin = 3, поэтому из уравнения (6.44) можно видеть, что исправимы все ошибочные комбинации из t = 1 бит. Также исправима одна ошибочная комбинация, содержащая / +1 (т.е. 2) ошибочных бит. Вообще, линейный код (n, k), способный исправлять все символы, содержащие t ошибочных бит, может исправить всего 2ⁿ^—^k ошибочных комбинаций. Если блочный код с возможностью исправления символов, имеющих ошибки в t бит, применяется для исправления ошибок в двоичном симметричном канале с вероятностью перехода р, то вероятность ошибки сообщения Рм(вероятность того, что декодер совершит неправильное декодирование и п-битовый блок содержит ошибку) можно оценить сверху, используя уравнение (6.18).

(6.45)

Оценка переходит в равенство, если декодер исправляет все ошибочные комбинации, содержащие до t ошибочных бит включительно, но не комбинации с числом ошибочных бит, большим t. Такие декодеры называются декодерами с ограниченным расстоянием. Вероятность ошибки в декодированном бите РB зависит от конкретного кода и декодера. Приближенно ее можно выразить следующим образом [5].

(6.46)

В блочном коде, прежде чем исправлять ошибки, необходимо их обнаружить. (Или же код может использоваться только для определения наличия ошибок.) Из рис. 6.13 видно, что любой полученный вектор, который изображается черной точкой (искаженное кодовое слово), можно определить как ошибку. Следовательно, возможность определения наличия ошибки дается следующим выражением.

(6.47)

Блочный код с минимальным расстоянием dmin гарантирует обнаружение всех ошибочных комбинаций, содержащих dmin — 1 или меньшее число ошибочных бит. Такой код также способен обнаружить и большую ошибочную комбинацию, содержащую dmin или более ошибок. Фактически код (n, k) может обнаружить 2ⁿ – 2^k ошибочных комбинаций длины п. Объясняется это следующим образом. Всего в пространстве 2ⁿ n-кортежей существует 2ⁿ -1 возможных ненулевых ошибочных комбинаций. Даже правильное кодовое слово — это потенциальная ошибочная комбинация. Поэтому всего существует 2^k -1 ошибочных комбинаций, которые идентичны 2^k -1 ненулевым кодовым словам. При появлении любая из этих 2^k — 1 ошибочных комбинаций изменяет передаваемое кодовое слово Uj на другое кодовое слово Uj. Таким образом, принимается кодовое слово Uj и его синдром равен нулю. Декодер принимает Uj за переданное кодовое слово, и поэтому декодирование дает неверный результат. Следовательно, существует 2^k -1 необнаружимых ошибочных комбинаций. Если ошибочная комбинация не совпадает с одним из 2^k кодовых слов, проверка вектора r с помощью синдромов дает ненулевой синдром и ошибка успешно обнаруживается. Отсюда следует, что существует ровно 2ⁿ-2^k выявляемых ошибочных комбинаций. При больших n, когда 2^k<<2ⁿ, необнаружимой будет только незначительная часть ошибочных комбинаций.

6.5.3.1. Распределение весовых коэффициентов кодовых слов

Пусть Aj — количество кодовых слов с весовым коэффициентом j в линейном коде (п, k). Числа A0,A1,…,An называются распределением весовых коэффициентов этого кода. Если код применяется только для обнаружения ошибок в двоичном симметричном канале, то вероятность того, что декодер не сможет определить ошибку, можно рассчитать, исходя из распределения весовых коэффициентов кода [5].

(6.48)

где р — вероятность перехода в двоичном симметричном канале. Если минимальное расстояние кода равно dmin значения от А1 до , равны нулю.

Пример 6.5. Вероятность необнаруженной ошибки в коде

Пусть код (6,3), введенный в разделе 6.4.3, используется только для обнаружения наличия ошибок. Рассчитайте вероятность необнаруженной ошибки, если применяется двоичный симметричный канал, а вероятность перехода равна 10^-2.

Решение

Распределение весовых коэффициентов этого кода выглядит следующим образом: A0=1, А1= А2 = 0, A3 = 4, A5 = 0, A6 = 0. Следовательно, используя уравнение (6.48), можно записать следующее.

Для р = 10^-2 вероятность необнаруженной ошибки будет равна 3,9 х 10^-6.

6.5.3.2. Одновременное обнаружение и исправление ошибок

Возможностями исправления ошибок с максимальным гарантированным (t), где t определяется уравнением (6.44), можно пожертвовать в пользу определения класса ошибок. Код можно использовать для одновременного исправления α и обнаружения β ошибок, причем , а минимальное расстояние кода дается следующим выражением [4].

(6.49)

При появлении t или меньшего числа ошибок код способен обнаруживать и исправлять их. Если ошибок больше t, но меньше е+1, где е определяется уравнением (6.47), код может определять наличие ошибок, но исправить может только некоторые из них. Например, используя код с dmin = 7. можно выполнить обнаружение и исправление со следующими значениями α и β.

Заметим, что исправление ошибки подразумевает ее предварительное обнаружение. В приведенном выше примере (с тремя ошибками) все ошибки можно обнаружить и исправить. Если имеется пять ошибок, их можно обнаружить, но исправить можно только одну из них.

6.5.4. Визуализация пространства 6-кортежей

На рис. 6.14 визуально представлено восемь кодовых слов, фигурирующих в примере из раздела 6.4.3. Кодовые слова образованы посредством линейных комбинаций из трех независимых 6-кортежей, приведенных в уравнении (6.26); сами кодовые слова образуют трехмерное подпространство. На рисунке показано, что такое подпространство полностью занято восемью кодовыми словами (большие черные круги); координаты подпространства умышленно выбраны неортогональными. На рис. 6.14 предпринята попытка изобразить все пространство, содержащее шестьдесят четыре 6-кортежей, хотя точно нарисовать или составить такую модель невозможно. Каждое кодовое слово окружают сферические слои или оболочки. Радиус внутренних непересекающихся слоев — это расстояние Хэмминга, равное 1; радиус внешнего слоя — это расстояние Хэмминга, равное 2. Большие расстояния в этом примере не рассматриваются. Для каждого кодового слова два показанных слоя заняты искаженными кодовыми словами. На каждой внутренней сфере существует шесть таких точек (всего 48 точек), представляющих шесть возможных однобитовых ошибок в векторах, соответствующих каждому кодовому слову. Эти кодовые слова с однобитовыми возмущениями могут быть соотнесены только с одним кодовым словом; следовательно, такие ошибки могут быть исправлены. Как видно из нормальной матрицы, приведенной на рис. 6.11, существует также одна двухбитовая ошибочная комбинация, которая также поддается исправлению. Всего существует разных двухбитовых ошибочных комбинаций, которыми может быть искажено любое кодовое слово, но исправить можно только одну из них (в нашем примере это ошибочная комбинация 010001). Остальные четырнадцать двухбитовых ошибочных комбинаций описываются векторами, которые нельзя однозначно сопоставить с каким-либо одним кодовым словом; эти не поддающиеся исправлению ошибочные комбинации дают векторы, которые эквивалентны искаженным векторам двух или большего числа кодовых слов. На рисунке все (56) исправимые кодовые слова с одно- и двухбитовыми искажениями показаны маленькими черными кругами. Искаженные кодовые слова, не поддающиеся исправлению, представлены маленькими прозрачными кругами.

Рис, 6.14. Пример восьми кодовых слов в пространстве 6-кортежей

При представлении свойств класса кодов, известных как совершенные коды (perfect code), рис. 6.14 весьма полезен. Код, исправляющий ошибки в t битах, называется совершенным, если нормальная матрица содержит все ошибочные комбинации из t или меньшего числа ошибок и не содержит иных образующих элементов классов смежности (отсутствует возможность исправления остаточных ошибок). В контексте рис. 6.14 совершенный код с коррекцией ошибок в t битах — это такой код, который (при использовании обнаружения по принципу максимального правдоподобия) может исправить все искаженные кодовые слова, находящиеся на расстоянии Хэмминга t (или ближе) от исходного кодового слова, и не способен исправить ни одну из ошибок, находящихся на расстоянии, превышающем t.

Кроме того, рис. 6.14 способствует пониманию основной цели поиска хороших кодов. Предпочтительным является пространство, максимально заполненное кодовыми словами (эффективное использование введенной избыточности), а также желательно, чтобы кодовые слова были по возможности максимально удалены друг от друга. Очевидно, что эти цели противоречивы.

6.5.5. Коррекция со стиранием ошибок

Приемник можно сконструировать так, чтобы он объявлял символ стертым, если последний принят неоднозначно либо обнаружено наличие помех или кратковременных сбоев. Размер входного алфавита такого канала равен Q, а выходного —Q + 1; лишний выходной символ называется меткой стирания (erasure flag), или просто стиранием (erasure). Если демодулятор допускает символьную ошибку, то для ее исправления необходимы два параметра, определяющие ее расположение и правильное значение символа. В случае двоичных символов эти требования упрощаются — нам необходимо только расположение ошибки. В то же время, если демодулятор объявляет символ стертым (при этом правильное значение символа неизвестно), расположение этого символа известно, поэтому декодирование стертого кодового слова может оказаться проще исправления ошибки. Код защиты от ошибок можно использовать для исправления стертых символов или одновременного исправления ошибок и стертых символов. Если минимальное расстояние кода равно dmin, любая комбинация из ρ или меньшего числа стертых символов может быть исправлена при следующем условии [6].

(6.50)

Предположим, что ошибки появляются вне позиций стирания. Преимущество исправления посредством стираний качественно можно выразить так: если минимальное расстояние кода равно dmin, согласно уравнению (6.50), можно восстановить dmin-1 стирание. Поскольку число ошибок, которые можно исправить без стирания информации, не превышает (dmin-1)/2, то преимущество исправления ошибок посредством стираний очевидно. Далее, любую комбинацию из α ошибок и γ стираний можно исправить одновременно, если, как показано в работе [6],

(6.51)

Одновременное исправление ошибок и стираний можно осуществить следующим образом. Сначала позиции из у стираний замещаются нулями, и получаемое кодовое слово декодируется обычным образом. Затем позиции из у стираний замещаются единицами, и декодирование повторяется для этого варианта кодового слова. После обработки обоих кодовых слов (одно с подставленными нулями, другое — с подставленными единицами) выбирается то из них, которое соответствует наименьшему числу ошибок, исправленных вне позиций стирания. Если удовлетворяется неравенство (6.51), то описанный метод всегда дает верное декодирование.

Пример 6.6. Коррекция со стиранием ошибок

Рассмотрим набор кодовых слов, представленный в разделе 6.4.3.

000000 110100 011010 101110 101001 011101 110011 000111

Пусть передано кодовое слово 110011, в котором два крайних слева разряда приемник объявил стертыми. Проверьте, что поврежденную последовательность хx0011 можно исправить.

Решение

Поскольку , код может исправить = 2 стирания. В этом легко убедиться из рис. 6.11 или приведенного выше перечня кодовых слов, сравнивая 4 крайних правых разряда xx00l1 с каждым из допустимых кодовых слов. Действительно переданное кодовое слово — это ближайшее (с точки зрения расстояния Хэмминга) к искаженной последовательности.

Источник

Definitions[edit]

History[edit]

Principles[edit]

Types of error correction[edit]

Automatic repeat request[edit]

Forward error correction[edit]

Hybrid schemes[edit]

Types of error detection[edit]

Minimum distance coding[edit]

Repetition codes[edit]

Parity bit[edit]

Checksum[edit]

Cyclic redundancy check[edit]

Cryptographic hash function[edit]

Error correction code[edit]

Applications[edit]

Internet[edit]

Deep-space telecommunications[edit]

Satellite broadcasting[edit]

Data storage[edit]

Error-correcting memory[edit]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

Содержание

Способы борьбы с ошибками[править | править код]

Коды обнаружения и исправления ошибок[править | править код]

Блоковые коды[править | править код]

Линейные коды общего вида[править | править код]

Минимальное расстояние и корректирующая способность[править | править код]

Коды Хемминга[править | править код]

Общий метод декодирования линейных кодов[править | править код]

Линейные циклические коды[править | править код]

Порождающий (генераторный) полином[править | править код]

Коды CRC[править | править код]

Коды БЧХ[править | править код]

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона[править | править код]

Преимущества и недостатки блоковых кодов[править | править код]

Свёрточные коды[править | править код]

Преимущества и недостатки свёрточных кодов[править | править код]

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование[править | править код]

Сетевое кодирование[править | править код]

Оценка эффективности кодов[править | править код]

Граница Хемминга и совершенные коды[править | править код]

Энергетический выигрыш[править | править код]

Применение кодов, исправляющих ошибки[править | править код]

Автоматический запрос повторной передачи[править | править код]

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)[править | править код]

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)[править | править код]

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Способы борьбы с ошибками[]

Коды обнаружения и исправления ошибок[]

Блоковые коды[]

Линейные коды общего вида[]

Минимальное расстояние и корректирующая способность[]

Коды Хемминга[]

Общий метод декодирования линейных кодов[]

Линейные циклические коды[]

Порождающий (генераторный) полином[]

Коды CRC[]

Коды БЧХ[]

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона[]

Преимущества и недостатки блоковых кодов[]

Свёрточные коды[]

Преимущества и недостатки свёрточных кодов[]

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование[]

Оценка эффективности кодов[]

Граница Хемминга и совершенные коды[]

Энергетический выигрыш[]

Применение кодов, исправляющих ошибки[]

Автоматический запрос повторной передачи[]

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)[]

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)[]

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)[]

См. также[]

Литература[]