Выборочная и исправленная дисперсия ошибок прибора - Oshibku.top - решение и исправление самых разных ошибок

Выборочная дисперсия, описание

Выборочная дисперсия является сводной характеристикой для наблюдения рассеяния количественного признака выборки вокруг среднего значения.

Определение

Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое значений вариантов части отобранных объектов генеральной совокупности (выборки).

Связь выборочной и генеральной дисперсии

Генеральная дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отступлений значений признаков генеральной совокупности от их среднего значения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Генеральная совокупность – это комплекс всех возможных объектов, относительно которых планируется вести наблюдение и формулировать выводы.

Выборочная совокупность или выборка является частью генеральной совокупности, выбранной для изучения и составления заключения касательной всей генеральной совокупности.

Как вычислить выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия при различии всех значений варианта выборки находится по формуле:

${\widehat D}_В=\frac{\displaystyle\sum_{i-1}^n{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n$

Для значений признаков выборочной совокупности с частотами n₁, n₂,…,n_kформула выглядит следующим образом:

${\widehat D}_В=\frac{\displaystyle\sum_{i-1}^kn_i{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n$

Квадратный корень из выборочной дисперсии характеризует рассеивание значений вариантов выборки вокруг своего среднего значения. Данная характеристика называется выборочным средним квадратическим отклонением и имеет вид:

${\widehat\sigma}_В=\sqrt{{\widehat D}_В}$

Упрощенный способ вычисления выборочной или генеральной дисперсии производят по формуле:

$D=\overline{x^2}-\left[\overline x\right]^2$

Если вариационный ряд выборочной совокупности интервальный, то за x_i принимается центр частичных интервалов.

Пример

Найти выборочную дисперсию выборки со значениями:

x_i: 1, 2, 3, 4;
n_i: 20, 15, 10, 5.

Решение

Для начала необходимо определить выборочную среднюю:

${\overline x}_В=\frac1{50}(1\cdot20+2\cdot15+3\cdot10+4\cdot5)=\frac1{50}\cdot100=2$

Затем найдем выборочную дисперсию:

$D_В=\frac1{50}({(1-2)}^2\cdot20+{(2-2)}^2\cdot15+{(3-2)}^2\cdot10+{(4-2)}^2\cdot5)=1$

Исправленная дисперсия

Математически выборочная дисперсия не соответствует генеральной, поскольку выборочная используется для смещенного оценивания генеральной дисперсии. По этой причине математическое ожидание выборочной дисперсии вычисляется так:

$M\left[D_B\right]=\frac{n-1}nD_Г$

В данной формуле D_Г – это истинное значение дисперсии генеральной совокупности.

Исправить выборочную дисперсию можно путем умножения ее на дробь:

$\frac n{n-1}$

Получим формулу следующего вида:

$S^2=\frac n{n-1}\cdot D_В=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kn_i{(x_i-{\overline x}_В)}^2}{n-1}$

Исправленная дисперсия используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии и обозначается S².

Среднеквадратическая генеральная совокупность оценивается при помощи исправленного среднеквадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:

$S=\sqrt{S^2}$

При нахождении выборочной и исправленной дисперсии разнятся лишь знаменатели в формулах. Различия в этих характеристиках при больших n незначительны. Применение исправленной дисперсии целесообразно при объеме выборки меньше 30.

Для чего применяют исправленную выборочную дисперсию

Исправленную выборочную используют для точечной оценки генеральной дисперсии.

Пример

Длину стержня измерили одним и тем же прибором пять раз. В результате получили следующие величины: 92 мм, 94 мм, 103 мм, 105 мм, 106 мм. Задача найти выборочную среднюю длину предмета и выборочную исправленную дисперсию ошибок измерительного прибора.

Решение

Сначала вычислим выборочную среднюю:

${\overline x}_В=\frac{92+94+103+105+106}5=100$

Затем найдем выборочную дисперсию:

$D_В=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n=\frac{{(92-100)}^2+{(94-100)}^2+{(103-100)}^2+{(105-100)}^2+{(106-100)}^2}5=34$

Теперь рассчитаем исправленную дисперсию:

$S^2=\frac5{5-1}\cdot34=42,5$

Источник

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Стать автором

Генеральная дисперсия

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Генеральная совокупность — совокупность случайно отобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.

Определение 2

Генеральная дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений значений вариант генеральной совокупности от их среднего значения.

Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие генерального среднего квадратического отклонения.

Определение 3

Генеральное среднее квадратическое отклонение — квадратный корень из генеральной дисперсии:

\[{\sigma }_г=\sqrt{D_г}\]

Выборочная дисперсия

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Определение 4

Выборочная совокупность — часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Определение 5

Выборочная дисперсия — среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.

«Дисперсия: генеральная, выборочная, исправленная» 👇

Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие выборочного среднего квадратического отклонения.

Определение 6

Выборочное среднее квадратическое отклонение — квадратный корень из генеральной дисперсии:

\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\]

Исправленная дисперсия

Для нахождения исправленной дисперсии $S^2$ необходимо умножить выборочную дисперсию на дробь $\frac{n}{n-1}$, то есть

С этим понятием также связано понятие исправленного среднего квадратического отклонения, которое находится по формуле:

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной дисперсий за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Пример задачи на нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пример 1

Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:

Рисунок 1.

Найдем для нее выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:

Рисунок 2.

Величина $\overline{x_в}$ (среднее выборочное) в таблице находится по формуле:

\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}\]

То есть

\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}=\frac{305}{20}=15,25\]

Найдем выборочную дисперсию по формуле:

\[D_в=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{{{(x}_i-\overline{x_в})}^2n_i}}{n}=\frac{523,75}{20}=26,1875\]

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\approx 5,12\]

Исправленная дисперсия:

\[{S^2=\frac{n}{n-1}D}_в=\frac{20}{19}\cdot 26,1875\approx 27,57\]

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

\[S=\sqrt{S^2}\approx 5,25\]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Выборочная средняя

,n
– объем выборки.

Если дано распределение
непрерывной случайной величины, то
вместо х_i
берут середину интервала (х_i,…,
х_i₊₁),
то есть
.

Выборочная и исправленная дисперсия

Чтобы охарактеризовать
рассеяние наблюдаемых значений
количественного признака выборки вокруг
своего среднего значения
вводят выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_B
называют среднее арифметическое
квадратов отклонения наблюдаемых
значений признака от их среднего значения
.

Часто для вычисления выборочной дисперсии
используют следующую формулу:

Выборочная дисперсия имеет
систематическую ошибку, приводящую к
уменьшению дисперсии. Чтобы это устранить,
вводят поправку, умножая D_B
на n/(n-1).
Получают исправленную дисперсию:

или:

На практике используют другую, равносильную
ей формулу:

Мода

Модой М₀
называют значение признака, которое
имеет наибольшую частоту (n_i
= max).

Медиана

Медианой m_e
называют значение признака, которое
делит статистическое распределение на
две равные части:

m_e
= x_k+1,
если
n = 2k + 1,

m_e
= (x_k
+ x_k+1)/2,
если
n = 2k.

Выборочное среднее квадратическое
отклонение

Выборочным средним квадратическим
отклонением (стандартом) называют
квадратный корень из выборочной
дисперсии:

Исправленное среднее квадратическое
отклонение:

S
=

Коэффициент вариации

Коэффициентом вариации
V
называется отношение выборочного
среднего квадратического отклонения
к выборочной средней, выраженное в
процентах:

V
=
.

Коэффициент вариации служит для
сравнивания меры рассеяния значений
признаков около выборочной средней в
разных выборках.

Статистические оценки параметров
распределения

Пусть требуется изучить количественный
признак генеральной совокупности. Пусть
удалось установить, какое именно
распределение имеет признак. Возникает
задача оценки параметров, которыми
определяется это распределение.

Например, если известно,
что изучаемый признак распределен в
генеральной совокупности нормально,
то требуется оценить, то есть приближенно
найти математическое ожидание (а)
и среднее квадратическое отклонение
(δ), так как эти два параметра полностью
задают нормальное распределение. Если
же известно, что признак имеет распределение
Пуассона, то необходимо оценить параметр
“”,
которым оно определяется.

Обычно оцениваемый параметр
выражают через данные выборки, например,
через значения количественного признака
х₁,
х₂,…,х_n,
полученные в результате наблюдений.

Статистической оценкой
неизвестного параметра теоретического
распределения называют его приближенное
значение, зависящее от данных выборки
(х₁,
х₂,…,
х_k;
n₁,
n₂,…,n_k),
то есть некоторую функцию этих величин.

x₁,
х₂,
…,х_k— значения признака;
n₁,
n₂,
…, n_k— частоты. Статистическая
оценка является случайной величиной.

Пусть Θ
– оцениваемый параметр, Θ*
— его статистическая оценка. Ясно, что
Θ*
тем точнее определяет параметр Θ,
чем меньше абсолютная величина разности
|Θ
— Θ*|.
Другими словами, если δ >0 и |Θ
— Θ*|<
δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее.
Таким образом, величину |Θ
— Θ*|
называют точностью
оценки,
а число δ характеризует точность оценки.

Чтобы оценка Θ*
имела практическое значение, она не
должна содержать систематической ошибки
и вместе с тем иметь возможно меньшую
дисперсию. При этом если оценка Θ*
дает приближенное значение Θ
с избытком (Θ*
> Θ),
то и математическое ожидание (среднее
значение) M(Θ*)>Θ;
если же Θ*
дает оценку с недостатком (Θ*
< Θ),
то и M
(Θ*)
< Θ.
На основании этого делаем вывод, что
соблюдение требований M(Θ*)
= Θ
гарантирует от получения систематических
ошибок.

Оценка параметра называется
несмещенной,
если ее математическое ожидание M
(Θ*)
равно оцениваемому параметру Θ,
то есть M
(Θ*)
= Θ
и смещенной, если M(Θ*)

Θ.

Оценка Θ*
называется эффективной,
если при заданном объеме выборки “n”
она имеет наименьшую дисперсию.

Оценка Θ*
называется состоятельной,
если при любом δ > 0:

lim
P
(|Θ
— Θ*|<
δ) = 1, то есть оценка Θ*
сходится по вероятности к Θ.

Теорема1.
Выборочная средняя
является несмещенной и состоятельной
оценкой математического ожидания.