Значение среднеквадратического отклонения и средней ошибки средней арифметической - Oshibku.top - решение и исправление самых разных ошибок

Среднее
квадратическое отклонение
характеризует среднее отклонение
всех вариант вариационного ряда от
средней арифметической
величины. Поскольку отклонения вариант
от средней,
имеют значения с «+» и «-», то при
суммировании
они взаимоуничтожаются. Чтобы избежать
этого, отклонения возводятся
во вторую степень, а затем, после
определенных вычислений,
производится обратное действие —
извлечение корня квадратного. Поэтому
среднее отклонение именуется
квадратическим.

Среднее
квадратическое отклонение определяют
по формуле:

(отклонение
d
— это разность между каждой вариантой
и средней величиной, т. е. d
= V-M;
р –частота; количество вариант n
(при числе наблюдений менее 30 сумма
делится
на n-1);

При
вычислении среднеквад. отклонения по
способу
моментов используется следующая формула.
Т.о.
, формула вычисления сред. отклонения
по способу моментов будет читаться как
корень квадратный
из
разности момента второй степени и
квадрата момента первой степени.
Результаты
вычисления сред. отклонения обычным
способом и способом моментов идентичны.
Однако, как указывалось
выше, второй способ значительно убыстряет
и упрощает
расчеты. Итак,
нахождение сред. отклонения позволяет
судить о характере однородности
исследуемой группы наблюдений. Если
величина среднеквад. отклонения
небольшая, то
это свидетельствует о достаточно высокой
однородности изучаемого
явления. Среднюю арифметическую в таком
случае следует признать
вполне характерной для данного
вариационного ряда. Однако
слишком малая величина сигмы заставляет
думать об искусственном
подборе наблюдений. При очень большой
сигме средняя арифметическая в меньшей
степени характеризует вариационный
ряд,
что говорит о значительной вариабельности
изучаемого признака
или явления или о неоднородности
исследуемой группы. Значение:
Определение
среднеквад. отклонения представляет
немалую ценность для медицинской науки
и практики. При диагностике
отдельных заболеваний очень важно
оценить на основании конкретных
исследований, какие признаки проявляются
у соответствующей
группы больных относительно одинаково,
с небольшими колебаниями,
а для каких признаков характерны большие
индивидуальные
колебания. Очень широко используется
это свойство при оценке
физического развития отдельных групп
населения, при выработке
стандартов школьной меб.

Ошибка
репрезентативности (сред.
ошибка сред. арифметич.)

Чтобы
определить степень точности выборочного
наблюдения, необходимо оценить величину
ошибки, которая может
случайно произойти в процессе выборки.
Такие ошибки носят название
случайных ошибок репрезентативности
т.
Они
фактически являются разностью
между средними числами, полученными
при выборочном статистическом
наблюдении, и аналогичными величинами,
которые были бы
получены при сплошном исследовании
того же объекта (т. е. при исследовании
генеральной совокупности).
Ошибки
репрезентативности вытекают из самой
сущности выборочного
исследования. С помощью ошибок
репрезентативности числовые характеристики
выборочной совокупности распространяются
на всю генеральную совокупность, то
есть она характеризуется с учетом
определенной погрешности. Величины
ошибок репрезентативности определяются
как объемом
выборки, так и разнообразием признака.
Чем больше число наблюдений,
тем меньше ошибка, чем больше изменчив
признак, тем больше
величина статистической ошибки.
На
практике для определения средней ошибки
выборки в статистических
исследованиях пользуются следующей
формулой:

(где
m
— ошибка репрезентативности;
σ
— среднее квадратическое отклонение;

n
— число наблюдений в выборке (при числе
наблюдений менее 30
в подкоренное выражение вносится
значение п-1)).

Размер
средней ошибки прямо пропорционален
среднему квадратичному отклонению, т.
е. вариабельности изучаемого
признака, и обратно пропорционален
корню квадратному из
числа наблюдений

Билет 25

Источник

Результат любого измерения не определён однозначно и имеет случайную составляющую.
Поэтому адекватным языком для описания погрешностей является язык вероятностей.
Тот факт, что значение некоторой величины «случайно», не означает, что
она может принимать совершенно произвольные значения. Ясно, что частоты, с которыми
возникает те или иные значения, различны. Вероятностные законы, которым
подчиняются случайные величины, называют распределениями.

2.1 Случайная величина

Случайной будем называть величину, значение которой не может быть достоверно определено экспериментатором. Чаще всего подразумевается, что случайная величина будет изменяться при многократном повторении одного и того же эксперимента. При интерпретации результатов измерений в физических экспериментах, обычно случайными также считаются величины, значение которых является фиксированным, но не известно экспериментатору. Например смещение нуля шкалы прибора. Для формализации работы со случайными величинами используют понятие вероятности. Численное значение вероятности того, что какая-то величина примет то или иное значение определяется либо как относительная частота наблюдения того или иного значения при повторении опыта большое количество раз, либо как оценка на основе данных других экспериментов.

Замечание.
Хотя понятия вероятности и случайной величины являются основополагающими, в литературе нет единства в их определении. Обсуждение формальных тонкостей или построение строгой теории лежит за пределами данного пособия. Поэтому на начальном этапе лучше использовать «интуитивное» понимание этих сущностей. Заинтересованным читателям рекомендуем обратиться к специальной литературе: [5].

Рассмотрим случайную физическую величину x, которая при измерениях может
принимать непрерывный набор значений. Пусть
P[x0,x0+δ⁢x] — вероятность того, что результат окажется вблизи
некоторой точки x0 в пределах интервала δ⁢x: x∈[x0,x0+δ⁢x].
Устремим интервал
δ⁢x к нулю. Нетрудно понять, что вероятность попасть в этот интервал
также будет стремиться к нулю. Однако отношение
w⁢(x0)=P[x0,x0+δ⁢x]δ⁢x будет оставаться конечным.
Функцию w⁢(x) называют плотностью распределения вероятности или кратко
распределением непрерывной случайной величины x.

Замечание. В математической литературе распределением часто называют не функцию
w⁢(x), а её интеграл W⁢(x)=∫w⁢(x)⁢𝑑x. Такую функцию в физике принято
называть интегральным или кумулятивным распределением. В англоязычной литературе
для этих функций принято использовать сокращения:
pdf (probability distribution function) и
cdf (cumulative distribution function)
соответственно.

Гистограммы.

Проиллюстрируем наглядно понятие плотности распределения. Результат
большого числа измерений случайной величины удобно представить с помощью
специального типа графика — гистограммы.
Для этого область значений x, размещённую на оси абсцисс, разобьём на
равные малые интервалы — «корзины» или «бины» (англ. bins)
некоторого размера h. По оси ординат будем откладывать долю измерений w,
результаты которых попадают в соответствующую корзину. А именно,
пусть k — номер корзины; nk — число измерений, попавших
в диапазон x∈[k⁢h,(k+1)⁢h]. Тогда на графике изобразим «столбик»
шириной h и высотой wk=nk/n.
В результате получим картину, подобную изображённой на рис. 2.1.

Рис. 2.1: Пример гистограммы для нормального распределения (x¯=10,
σ=1,0, h=0,1, n=104)

Высоты построенных столбиков будут приближённо соответствовать значению
плотности распределения w⁢(x) вблизи соответствующей точки x.
Если устремить число измерений к бесконечности (n→∞), а ширину корзин
к нулю (h→0), то огибающая гистограммы будет стремиться к некоторой
непрерывной функции w⁢(x).

Самые высокие столбики гистограммы будут группироваться вблизи максимума
функции w⁢(x) — это наиболее вероятное значение случайной величины.
Если отклонения в положительную и отрицательную стороны равновероятны,
то гистограмма будет симметрична — в таком случае среднее значение ⟨x⟩
также будет лежать вблизи этого максимума. Ширина гистограммы будет характеризовать разброс
значений случайной величины — по порядку величины
она, как правило, близка к среднеквадратичному отклонению sx.

Свойства распределений.

Из определения функции w⁢(x) следует, что вероятность получить в результате
эксперимента величину x в диапазоне от a до b
можно найти, вычислив интеграл:

Px∈[a,b]=∫abw⁢(x)⁢𝑑x.

(2.1)

Согласно определению вероятности, сумма вероятностей для всех возможных случаев
всегда равна единице. Поэтому интеграл распределения w⁢(x) по всей области
значений x (то есть суммарная площадь под графиком w⁢(x)) равен единице:

Это соотношение называют условием нормировки.

Среднее и дисперсия.

Вычислим среднее по построенной гистограмме. Если размер корзин
h достаточно мал, все измерения в пределах одной корзины можно считать примерно
одинаковыми. Тогда среднее арифметическое всех результатов можно вычислить как

Переходя к пределу, получим следующее определение среднего значения
случайной величины:

где интегрирование ведётся по всей области значений x.
В теории вероятностей x¯ также называют математическим ожиданием
распределения.
Величину

σ2=(x-x¯)2¯=∫(x-x¯)2⁢w⁢𝑑x

(2.3)

называют дисперсией распределения. Значение σ есть
срекднеквадратичное отклонение в пределе n→∞. Оно имеет ту
же размерность, что и сама величина x и характеризует разброс распределения.
Именно эту величину, как правило, приводят как характеристику погрешности
измерения x.

Доверительный интервал.

Обозначим как P|Δ⁢x|<δ вероятность
того, что отклонение от среднего Δ⁢x=x-x¯ составит величину,
не превосходящую по модулю значение δ:

P|Δ⁢x|<δ=∫x¯-δx¯+δw⁢(x)⁢𝑑x.

(2.4)

Эту величину называют доверительной вероятностью для
доверительного интервала |x-x¯|≤δ.

2.2 Нормальное распределение

Одним из наиболее примечательных результатов теории вероятностей является
так называемая центральная предельная теорема. Она утверждает,
что сумма большого количества независимых случайных слагаемых, каждое
из которых вносит в эту сумму относительно малый вклад, подчиняется
универсальному закону, не зависимо от того, каким вероятностным законам
подчиняются её составляющие, — так называемому нормальному
распределению (или распределению Гаусса).

Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим (его можно найти
в любом учебнике по теории вероятностей). Остановимся
кратко на том, что такое нормальное распределение и его основных свойствах.

Плотность нормального распределения выражается следующей формулой:

w𝒩⁢(x)=12⁢π⁢σ⁢e-(x-x¯)22⁢σ2.

(2.5)

Здесь x¯ и σ
— параметры нормального распределения: x¯ равно
среднему значению x, a σ —
среднеквадратичному отклонению, вычисленным в пределе n→∞.

Как видно из рис. 2.1, распределение представляет собой
симметричный
«колокол», положение вершины которого
соответствует x¯ (ввиду симметрии оно же
совпадает с наиболее вероятным значением — максимумом
функции w𝒩⁢(x)).

При значительном отклонении x от среднего величина
w𝒩⁢(x)
очень быстро убывает. Это означает, что вероятность встретить отклонения,
существенно большие, чем σ, оказывается пренебрежимо
мала. Ширина «колокола» по порядку величины
равна σ — она характеризует «разброс»
экспериментальных данных относительно среднего значения.

Замечание. Точки x=x¯±σ являются точками
перегиба графика w⁢(x) (в них вторая производная по x
обращается в нуль, w′′=0), а их положение по высоте составляет
w⁢(x¯±σ)/w⁢(x¯)=e-1/2≈0,61
от высоты вершины.

Универсальный характер центральной предельной теоремы позволяет широко
применять на практике нормальное (гауссово) распределение для обработки
результатов измерений, поскольку часто случайные погрешности складываются из
множества случайных независимых факторов. Заметим, что на практике
для приближённой оценки параметров нормального распределения
случайной величины используются выборочные значения среднего
и дисперсии: x¯≈⟨x⟩, sx≈σx.

x-x0σ2=2w⁢(x)σ1=1

Рис. 2.2: Плотность нормального распределения

Доверительные вероятности.

Вычислим некоторые доверительные вероятности (2.4) для нормально
распределённых случайных величин.

Замечание. Значение интеграла вида ∫e-x2/2⁢𝑑x
(его называют интегралом ошибок) в элементарных функциях не выражается,
но легко находится численно.

Вероятность того, что результат отдельного измерения x окажется
в пределах x¯±σ оказывается равна

P|Δ⁢x|<σ=∫x¯-σx¯+σw𝒩⁢𝑑x≈0,68.

Вероятность отклонения в пределах x¯±2⁢σ:

а в пределах x¯±3⁢σ:

Иными словами, при большом числе измерений нормально распределённой
величины можно ожидать, что лишь треть измерений выпадут за пределы интервала
[x¯-σ,x¯+σ]. При этом около 5%
измерений выпадут за пределы [x¯-2⁢σ;x¯+2⁢σ],
и лишь 0,27% окажутся за пределами
[x¯-3⁢σ;x¯+3⁢σ].

Пример. В сообщениях об открытии бозона Хиггса на Большом адронном коллайдере
говорилось о том, что исследователи ждали подтверждение результатов
с точностью «5 сигма». Используя нормальное распределение (2.5)
нетрудно посчитать, что они использовали доверительную вероятность
P≈1-5,7⋅10-7=0,99999943. Такую точность можно назвать фантастической.

Полученные значения доверительных вероятностей используются при
стандартной записи результатов измерений. В физических измерениях
(в частности, в учебной лаборатории), как правило, используется P=0,68,
то есть, запись

означает, что измеренное значение лежит в диапазоне (доверительном
интервале) x∈[x¯-δ⁢x;x¯+δ⁢x] с
вероятностью 68%. Таким образом погрешность ±δ⁢x считается
равной одному среднеквадратичному отклонению: δ⁢x=σ.
В технических измерениях чаще используется P=0,95, то есть под
абсолютной погрешностью имеется в виду удвоенное среднеквадратичное
отклонение, δ⁢x=2⁢σ. Во избежание разночтений доверительную
вероятность следует указывать отдельно.

Замечание. Хотя нормальный закон распределения встречается на практике довольно
часто, стоит помнить, что он реализуется далеко не всегда.
Полученные выше соотношения для вероятностей попадания значений в
доверительные интервалы можно использовать в качестве простейшего
признака нормальности распределения: в частности, если количество попадающих
в интервал ±σ результатов существенно отличается от 2/3 — это повод
для более детального исследования закона распределения ошибок.

Сравнение результатов измерений.

Теперь мы можем дать количественный критерий для сравнения двух измеренных
величин или двух результатов измерения одной и той же величины.

Пусть x1 и x2 (x1≠x2) измерены с
погрешностями σ1 и σ2 соответственно.
Ясно, что если различие результатов |x2-x1| невелико,
его можно объяснить просто случайными отклонениями.
Если же теория предсказывает, что вероятность обнаружить такое отклонение
слишком мала, различие результатов следует признать значимым.
Предварительно необходимо договориться о соответствующем граничном значении
вероятности. Универсального значения здесь быть не может,
поэтому приходится полагаться на субъективный выбор исследователя. Часто
в качестве «разумной» границы выбирают вероятность 5%,
что, как видно из изложенного выше, для нормального распределения
соответствует отклонению более, чем на 2⁢σ.

Допустим, одна из величин известна с существенно большей точностью:
σ2≪σ1 (например, x1 — результат, полученный
студентом в лаборатории, x2 — справочное значение).
Поскольку σ2 мало, x2 можно принять за «истинное»:
x2≈x¯. Предполагая, что погрешность измерения
x1 подчиняется нормальному закону с и дисперсией σ12,
можно утверждать, что
различие считают будет значимы, если

Пусть погрешности измерений сравнимы по порядку величины:
σ1∼σ2. В теории вероятностей показывается, что
линейная комбинация нормально распределённых величин также имеет нормальное
распределение с дисперсией σ2=σ12+σ22
(см. также правила сложения погрешностей (2.7)). Тогда
для проверки гипотезы о том, что x1 и x2 являются измерениями
одной и той же величины, нужно вычислить, является ли значимым отклонение
|x1-x2| от нуля при σ=σ12+σ22.

Пример. Два студента получили следующие значения для теплоты испарения
некоторой жидкости: x1=40,3±0,2 кДж/моль и
x2=41,0±0,3 кДж/моль, где погрешность соответствует
одному стандартному отклонению. Можно ли утверждать, что они исследовали
одну и ту же жидкость?
Имеем наблюдаемую разность |x1-x2|=0,7 кДж/моль,
среднеквадратичное отклонение для разности
σ=0,22+0,32=0,36 кДж/моль.
Их отношение |x2-x1|σ≈2. Из
свойств нормального распределения находим вероятность того, что измерялась
одна и та же величина, а различия в ответах возникли из-за случайных
ошибок: P≈5%. Ответ на вопрос, «достаточно»
ли мала или велика эта вероятность, остаётся на усмотрение исследователя.

Замечание. Изложенные здесь соображения применимы, только если x¯ и
его стандартное отклонение σ получены на основании достаточно
большой выборки n≫1 (или заданы точно). При небольшом числе измерений
(n≲10) выборочные средние ⟨x⟩ и среднеквадратичное отклонение
sx сами имеют довольно большую ошибку, а
их распределение будет описываться не нормальным законом, а так
называемым t-распределением Стъюдента. В частности, в зависимости от
значения n интервал ⟨x⟩±sx будет соответствовать несколько
меньшей доверительной вероятности, чем P=0,68. Особенно резко различия
проявляются при высоких уровнях доверительных вероятностей P→1.

2.3 Независимые величины

Величины x и y называют независимыми если результат измерения одной
из них никак не влияет на результат измерения другой. Для таких величин вероятность того, что x окажется в некоторой области X, и одновременно y — в области Y,
равна произведению соответствующих вероятностей:

Обозначим отклонения величин от их средних как Δ⁢x=x-x¯ и
Δ⁢y=y-y¯.
Средние значения этих отклонений равны, очевидно, нулю: Δ⁢x¯=x¯-x¯=0,
Δ⁢y¯=0. Из независимости величин x и y следует,
что среднее значение от произведения Δ⁢x⋅Δ⁢y¯
равно произведению средних Δ⁢x¯⋅Δ⁢y¯
и, следовательно, равно нулю:

Δ⁢x⋅Δ⁢y¯=Δ⁢x¯⋅Δ⁢y¯=0.

(2.6)

Пусть измеряемая величина z=x+y складывается из двух независимых
случайных слагаемых x и y, для которых известны средние
x¯ и y¯, и их среднеквадратичные погрешности
σx и σy. Непосредственно из определения (1.1)
следует, что среднее суммы равно сумме средних:

Найдём дисперсию σz2. В силу независимости имеем

Δ⁢z2¯=Δ⁢x2¯+Δ⁢y2¯+2⁢Δ⁢x⋅Δ⁢y¯≈Δ⁢x2¯+Δ⁢y2¯,

то есть:

Таким образом, при сложении независимых величин их погрешности
складываются среднеквадратичным образом.

Подчеркнём, что для справедливости соотношения (2.7)
величины x и y не обязаны быть нормально распределёнными —
достаточно существования конечных значений их дисперсий. Однако можно
показать, что если x и y распределены нормально, нормальным
будет и распределение их суммы.

Замечание. Требование независимости
слагаемых является принципиальным. Например, положим y=x. Тогда
z=2⁢x. Здесь y и x, очевидно, зависят друг от друга. Используя
(2.7), находим σ2⁢x=2⁢σx,
что, конечно, неверно — непосредственно из определения
следует, что σ2⁢x=2⁢σx.

Отдельно стоит обсудить математическую структуру формулы (2.7).
Если одна из погрешностей много больше другой, например,
σx≫σy,
то меньшей погрешностью можно пренебречь, σx+y≈σx.
С другой стороны, если два источника погрешностей имеют один порядок
σx∼σy, то и σx+y∼σx∼σy.

Эти обстоятельства важны при планирования эксперимента: как правило,
величина, измеренная наименее точно, вносит наибольший вклад в погрешность
конечного результата. При этом, пока не устранены наиболее существенные
ошибки, бессмысленно гнаться за повышением точности измерения остальных
величин.

Пример. Пусть σy=σx/3,
тогда σz=σx⁢1+19≈1,05⁢σx,
то есть при различии двух погрешностей более, чем в 3 раза, поправка
к погрешности составляет менее 5%, и уже нет особого смысла в учёте
меньшей погрешности: σz≈σx. Это утверждение
касается сложения любых независимых источников погрешностей в эксперименте.

2.4 Погрешность среднего

Выборочное среднее арифметическое значение ⟨x⟩, найденное
по результатам n измерений, само является случайной величиной.
Действительно, если поставить серию одинаковых опытов по n измерений,
то в каждом опыте получится своё среднее значение, отличающееся от
предельного среднего x¯.

Вычислим среднеквадратичную погрешность среднего арифметического
σ⟨x⟩.
Рассмотрим вспомогательную сумму n слагаемых

Если {xi} есть набор независимых измерений
одной и той же физической величины, то мы можем, применяя результат
(2.7) предыдущего параграфа, записать

σZ=σx12+σx22+…+σxn2=n⁢σx,

поскольку под корнем находится n одинаковых слагаемых. Отсюда с
учётом ⟨x⟩=Z/n получаем

Таким образом, погрешность среднего значения x по результатам
n независимых измерений оказывается в n раз меньше погрешности
отдельного измерения. Это один из важнейших результатов, позволяющий
уменьшать случайные погрешности эксперимента за счёт многократного
повторения измерений.

Подчеркнём отличия между σx и σ⟨x⟩:

величина σx — погрешность отдельного
измерения — является характеристикой разброса значений
в совокупности измерений {xi}, i=1..n. При
нормальном законе распределения примерно 68% измерений попадают в
интервал ⟨x⟩±σx;

величина σ⟨x⟩ — погрешность
среднего — характеризует точность, с которой определено
среднее значение измеряемой физической величины ⟨x⟩ относительно
предельного («истинного») среднего x¯;
при этом с доверительной вероятностью P=68% искомая величина x¯
лежит в интервале
⟨x⟩-σ⟨x⟩<x¯<⟨x⟩+σ⟨x⟩.

2.5 Результирующая погрешность опыта

Пусть для некоторого результата измерения известна оценка его максимальной
систематической погрешности Δсист и случайная
среднеквадратичная
погрешность σслуч. Какова «полная»
погрешность измерения?

Предположим для простоты, что измеряемая величина в принципе
может быть определена сколь угодно точно, так что можно говорить о
некотором её «истинном» значении xист
(иными словами, погрешность результата связана в основном именно с
процессом измерения). Назовём полной погрешностью измерения
среднеквадратичное значения отклонения от результата измерения от
«истинного»:

Отклонение x-xист можно представить как сумму случайного
отклонения от среднего δ⁢xслуч=x-x¯
и постоянной (но, вообще говоря, неизвестной) систематической составляющей
δ⁢xсист=x¯-xист=const:

Причём случайную составляющую можно считать независимой от систематической.
В таком случае из (2.7) находим:

σполн2=⟨δ⁢xсист2⟩+⟨δ⁢xслуч2⟩≤Δсист2+σслуч2.

(2.9)

Таким образом, для получения максимального значения полной
погрешности некоторого измерения нужно квадратично сложить максимальную
систематическую и случайную погрешности.

Если измерения проводятся многократно, то согласно (2.8)
случайная составляющая погрешности может быть уменьшена, а систематическая
составляющая при этом остаётся неизменной:

Отсюда следует важное практическое правило
(см. также обсуждение в п. 2.3): если случайная погрешность измерений
в 2–3 раза меньше предполагаемой систематической, то
нет смысла проводить многократные измерения в попытке уменьшить погрешность
всего эксперимента. В такой ситуации измерения достаточно повторить
2–3 раза — чтобы убедиться в повторяемости результата, исключить промахи
и проверить, что случайная ошибка действительно мала.
В противном случае повторение измерений может иметь смысл до
тех пор, пока погрешность среднего
σ⟨x⟩=σxn
не станет меньше систематической.

Замечание. Поскольку конкретная
величина систематической погрешности, как правило, не известна, её
можно в некотором смысле рассматривать наравне со случайной —
предположить, что её величина была определена по некоторому случайному
закону перед началом измерений (например, при изготовлении линейки
на заводе произошло некоторое случайное искажение шкалы). При такой
трактовке формулу (2.9) можно рассматривать просто
как частный случай формулы сложения погрешностей независимых величин
(2.7).
Подчеркнем, что вероятностный закон, которому подчиняется
систематическая ошибка, зачастую неизвестен. Поэтому неизвестно и
распределение итогового результата. Из этого, в частности, следует,
что мы не можем приписать интервалу x±Δсист какую-либо
определённую доверительную вероятность — она равна 0,68
только если систематическая ошибка имеет нормальное распределение.
Можно, конечно, предположить,
— и так часто делают — что, к примеру, ошибки
при изготовлении линеек на заводе имеют гауссов характер. Также часто
предполагают, что систематическая ошибка имеет равномерное
распределение (то есть «истинное» значение может с равной вероятностью
принять любое значение в пределах интервала ±Δсист).
Строго говоря, для этих предположений нет достаточных оснований.

Пример. В результате измерения диаметра проволоки микрометрическим винтом,
имеющим цену деления h=0,01 мм, получен следующий набор из n=8 значений:

Вычисляем среднее значение: ⟨d⟩≈386,3 мкм.
Среднеквадратичное отклонение:
σd≈9,2 мкм. Случайная погрешность среднего согласно
(2.8):
σ⟨d⟩=σd8≈3,2
мкм. Все результаты лежат в пределах ±2⁢σd, поэтому нет
причин сомневаться в нормальности распределения. Максимальную погрешность
микрометра оценим как половину цены деления, Δ=h2=5 мкм.
Результирующая полная погрешность
σ≤Δ2+σd28≈6,0 мкм.
Видно, что σслуч≈Δсист и проводить дополнительные измерения
особого смысла нет. Окончательно результат измерений может быть представлен
в виде (см. также правила округления
результатов измерений в п. 4.3.2)

d=386±6⁢мкм,εd=1,5%.

Заметим, что поскольку случайная погрешность и погрешность
прибора здесь имеют один порядок величины, наблюдаемый случайный разброс
данных может быть связан как с неоднородностью сечения проволоки,
так и с дефектами микрометра (например, с неровностями зажимов, люфтом
винта, сухим трением, деформацией проволоки под действием микрометра
и т. п.). Для ответа на вопрос, что именно вызвало разброс, требуются
дополнительные исследования, желательно с использованием более точных
приборов.

Пример. Измерение скорости
полёта пули было осуществлено с погрешностью δ⁢v=±1 м/c.
Результаты измерений для n=6 выстрелов представлены в таблице:

Усреднённый результат ⟨v⟩=162,0⁢м/с,
среднеквадратичное отклонение σv=13,8⁢м/c, случайная
ошибка для средней скорости
σv¯=σv/6=5,6⁢м/с.
Поскольку разброс экспериментальных данных существенно превышает погрешность
каждого измерения, σv≫δ⁢v, он почти наверняка связан
с реальным различием скоростей пули в разных выстрелах, а не с ошибками
измерений. В качестве результата эксперимента представляют интерес
как среднее значение скоростей ⟨v⟩=162±6⁢м/с
(ε≈4%), так и значение σv≈14⁢м/с,
характеризующее разброс значений скоростей от выстрела к выстрелу.
Малая инструментальная погрешность в принципе позволяет более точно
измерить среднее и дисперсию, и исследовать закон распределения выстрелов
по скоростям более детально — для этого требуется набрать
бо́льшую статистику по выстрелам.

Пример. Измерение скорости
полёта пули было осуществлено с погрешностью δ⁢v=10 м/c. Результаты
измерений для n=6 выстрелов представлены в таблице:

Усреднённый результат ⟨v⟩=163,3⁢м/с,
σv=12,1⁢м/c, σ⟨v⟩=5⁢м/с,
σполн≈11,2⁢м/с. Инструментальная
погрешность каждого измерения превышает разброс данных, поэтому в
этом опыте затруднительно сделать вывод о различии скоростей от выстрела
к выстрелу. Результат измерений скорости пули:
⟨v⟩=163±11⁢м/с,
ε≈7%. Проводить дополнительные выстрелы при такой
большой инструментальной погрешности особого смысла нет —
лучше поработать над точностью приборов и методикой измерений.

2.6 Обработка косвенных измерений

Косвенными называют измерения, полученные в результате расчётов,
использующих результаты прямых (то есть «непосредственных»)
измерений физических величин. Сформулируем основные правила пересчёта
погрешностей при косвенных измерениях.

2.6.1 Случай одной переменной

Пусть в эксперименте измеряется величина x, а её «наилучшее»
(в некотором смысле) значение равно x⋆ и оно известно с
погрешностью σx. После чего с помощью известной функции
вычисляется величина y=f⁢(x).

В качестве «наилучшего» приближения для y используем значение функции
при «наилучшем» x:

Найдём величину погрешности σy. Обозначая отклонение измеряемой
величины как Δ⁢x=x-x⋆, и пользуясь определением производной,
при условии, что функция y⁢(x) — гладкая
вблизи x≈x⋆, запишем

где f′≡d⁢yd⁢x — производная фукнции f⁢(x), взятая в точке
x⋆. Возведём полученное в квадрат, проведём усреднение
(σy2=⟨Δ⁢y2⟩,
σx2=⟨Δ⁢x2⟩), и затем снова извлечём
корень. В результате получим

Пример. Для степенной функции
y=A⁢xn имеем σy=n⁢A⁢xn-1⁢σx, откуда

σyy=n⁢σxx,или εy=n⁢εx,

то есть относительная погрешность степенной функции возрастает пропорционально
показателю степени n.

Пример. Для y=1/x имеем ε1/x=εx
— при обращении величины сохраняется её относительная
погрешность.

Упражнение. Найдите погрешность логарифма y=ln⁡x, если известны x
и σx.

Упражнение. Найдите погрешность показательной функции y=ax,
если известны x и σx. Коэффициент a задан точно.

2.6.2 Случай многих переменных

Пусть величина u вычисляется по измеренным значениям нескольких
различных независимых физических величин x, y, …
на основе известного закона u=f⁢(x,y,…). В качестве
наилучшего значения можно по-прежнему взять значение функции f
при наилучших значениях измеряемых параметров:

Для нахождения погрешности σu воспользуемся свойством,
известным из математического анализа, — малые приращения гладких
функции многих переменных складываются линейно, то есть справедлив
принцип суперпозиции малых приращений:

где символом fx′≡∂⁡f∂⁡x обозначена
частная производная функции f по переменной x —
то есть обычная производная f по x, взятая при условии, что
все остальные аргументы (кроме x) считаются постоянными параметрами.
Тогда пользуясь формулой для нахождения дисперсии суммы независимых
величин (2.7), получим соотношение, позволяющее вычислять
погрешности косвенных измерений для произвольной функции
u=f⁢(x,y,…):

σu2=fx′⁣2⁢σx2+fy′⁣2⁢σy2+…

(2.11)

Это и есть искомая общая формула пересчёта погрешностей при косвенных
измерениях.

Отметим, что формулы (2.10) и (2.11) применимы
только если относительные отклонения всех величин малы
(εx,εy,…≪1),
а измерения проводятся вдали от особых точек функции f (производные
fx′, fy′ … не должны обращаться в бесконечность).
Также подчеркнём, что все полученные здесь формулы справедливы только
для независимых переменных x, y, …

Остановимся на некоторых важных частных случаях формулы
(2.11).

Пример. Для суммы (или разности) u=∑i=1nai⁢xi имеем

σu2=∑i=1nai2⁢σxi2.

(2.12)

Пример. Найдём погрешность степенной функции:
u=xα⋅yβ⋅…. Тогда нетрудно получить,
что

σu2u2=α2⁢σx2x2+β2⁢σy2y2+…

или через относительные погрешности

εu2=α2⁢εx2+β2⁢εy2+…

(2.13)

Пример. Вычислим погрешность произведения и частного: u=x⁢y или u=x/y.
Тогда в обоих случаях имеем

εu2=εx2+εy2,

(2.14)

то есть при умножении или делении относительные погрешности складываются
квадратично.

Пример. Рассмотрим несколько более сложный случай: нахождение угла по его тангенсу

u=arctgyx.

В таком случае, пользуясь тем, что (arctgz)′=11+z2,
где z=y/x, и используя производную сложной функции, находим
ux′=uz′⁢zx′=-yx2+y2,
uy′=uz′⁢zy′=xx2+y2, и наконец

σu2=y2⁢σx2+x2⁢σy2(x2+y2)2.

Упражнение. Найти погрешность вычисления гипотенузы z=x2+y2
прямоугольного треугольника по измеренным катетам x и y.

По итогам данного раздела можно дать следующие практические рекомендации.

•

Как правило, нет смысла увеличивать точность измерения какой-то одной
величины, если другие величины, используемые в расчётах, остаются
измеренными относительно грубо — всё равно итоговая погрешность
скорее всего будет определяться самым неточным измерением. Поэтому
все измерения имеет смысл проводить примерно с одной и той же
относительной погрешностью.
•

При этом, как следует из (2.13), особое внимание
следует уделять измерению величин, возводимых при расчётах в степени
с большими показателями. А при сложных функциональных зависимостях
имеет смысл детально проанализировать структуру формулы
(2.11):
если вклад от некоторой величины в общую погрешность мал, нет смысла
гнаться за высокой точностью её измерения, и наоборот, точность некоторых
измерений может оказаться критически важной.
•

Следует избегать измерения малых величин как разности двух близких
значений (например, толщины стенки цилиндра как разности внутреннего
и внешнего радиусов): если u=x-y, то абсолютная погрешность
σu=σx2+σy2
меняется мало, однако относительная погрешность
εu=σux-y
может оказаться неприемлемо большой, если x≈y.

Источник

Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

В статистике студенты часто путают два термина: стандартное отклонение и стандартная ошибка .

Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны значения в наборе данных.

Стандартная ошибка — это стандартное отклонение среднего значения в повторных выборках из совокупности.

Давайте рассмотрим пример, чтобы ясно проиллюстрировать эту идею.

Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки

Предположим, мы измеряем вес 10 разных черепах.

Для этой выборки из 10 черепах мы можем вычислить среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки:

Предположим, что стандартное отклонение оказалось равным 8,68. Это дает нам представление о том, насколько распределен вес этих черепах.

Но предположим, что мы собираем еще одну простую случайную выборку из 10 черепах и также проводим их измерения. Более чем вероятно, что эта выборка из 10 черепах будет иметь немного другое среднее значение и стандартное отклонение, даже если они взяты из одной и той же популяции:

Теперь, если мы представим, что мы берем повторные выборки из одной и той же совокупности и записываем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение для каждой выборки:

Теперь представьте, что мы наносим каждое среднее значение выборки на одну и ту же строку:

Стандартное отклонение этих средних значений известно как стандартная ошибка.

Формула для фактического расчета стандартной ошибки:

Стандартная ошибка = s/ √n

куда:

s: стандартное отклонение выборки
n: размер выборки

Какой смысл использовать стандартную ошибку?

Когда мы вычисляем среднее значение данной выборки, нас на самом деле интересует не среднее значение этой конкретной выборки, а скорее среднее значение большей совокупности, из которой взята выборка.

Однако мы используем выборки, потому что для них гораздо проще собирать данные, чем для всего населения. И, конечно же, среднее значение выборки будет варьироваться от выборки к выборке, поэтому мы используем стандартную ошибку среднего значения как способ измерить, насколько точна наша оценка среднего значения.

Вы заметите из формулы для расчета стандартной ошибки, что по мере увеличения размера выборки (n) стандартная ошибка уменьшается:

Стандартная ошибка = s/ √n

Это должно иметь смысл, поскольку большие размеры выборки уменьшают изменчивость и увеличивают вероятность того, что среднее значение нашей выборки ближе к фактическому среднему значению генеральной совокупности.

Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки

Если мы просто заинтересованы в измерении того, насколько разбросаны значения в наборе данных, мы можем использовать стандартное отклонение .

Однако, если мы заинтересованы в количественной оценке неопределенности оценки среднего значения, мы можем использовать стандартную ошибку среднего значения .

В зависимости от вашего конкретного сценария и того, чего вы пытаетесь достичь, вы можете использовать либо стандартное отклонение, либо стандартную ошибку.

Загрузить PDF

Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.

1

Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
2

Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
3

Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
4

Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
5

Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
6

Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.

Реклама

1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
  Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
  Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
  Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама

1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
  Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.

Советы

Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 48 054 раза.

Была ли эта статья полезной?

Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).

Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.

Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).

Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.

Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:

где x_i – значения переменной,
n – количество значений.

Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение x_i обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:

Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:

где σ² – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.

На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:

Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.

Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии

Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии

Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:

Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.

Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).

Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.

Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.

Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).

Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.

Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.

Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.

Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.

Поделиться в социальных сетях:

Значение слова «СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА» найдено в 13 источниках

СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА

СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА: (standard error) Показатель надежности расчетного параметра. Стандартная ошибка – это стандартное отклонение оценок, которые будут получены при многократной случайной выборке данного размера из одной и той же совокупности. Стандартная ошибка – это убывающая функция объема выборки: чем меньше стандартная ошибка, тем более достоверной является оценка.

величина, характеризующая случайную ошибку выборки стандартное отклонение выборочного распределения статистики; обозначается SE (standard error). Может вычисляться для любых выборочных статистик; используется при построении соответствующих доверительных интервалов и статистической проверке гипотез .
Наиболее часто используется С.О. среднего арифметического . Она вычисляется по формуле SE = s / Vn, где s стандартное отклонение переменной, n объем выборки. Чем меньше стандартное отклонение s и больше объем выборки n, тем меньше С.О. С.О. среднего арифметического применяется при построении доверительного интервала для математического ожидания , интервального оценивания случайной ошибки выборки , нахождения объема репрезентативной выборки при заданных доверительной вероятности и предельно допустимой ошибке выборки.
О.В. Терещенко

показатель отклонения полученного коэффициента регрессии от предполагаемого значения реального (но неизвестного) коэффициента для массива. В (t-тесте стандартная ошибка определенного коэффициента делится на этот коэффициент, показывая t-значение. t-таблица, численная таблица, состоящая из значений f-отношения и частоты их появления в (-распределении, чье среднее значение равняется нулю, t-тест: тест статистической значимости полученных коэффициентов регрессии. Если коэффициент проходит этот тест, то исследователь может быть вполне уверен в том, что значение коэффициента для массива не равняется нулю;

Стандартное отклонение распределения теоретической выборки. Оно обеспечивает оценку вариативности, которая может ожидаться в фактических выборках из основной теоретической популяции и, таким образом, и в популяционном параметре. См. стандартная ошибка среднего, которая является оценкой стандартной ошибки, наиболее часто используемой для оценки репрезентативности выборки.

Стандартное
отклонение статистики, в
частности, выборочного распределения оценки. Как правило, употребляется в
выражениях типа «стандартная ошибка среднего» (которая равна стандартному
отклонению, деленному на корень квадратный из объема выборки).

• kvadratická chyba

• směrodatná odchylka

• standardní odchylka

• střední chyba

1) mean-square error

2) standard error

. см. ВЫБОРКИ ОШИБКА.
Antinazi.Энциклопедия социологии,2009

Что такое Стандартная ошибка?

Стандартная ошибка (SE) статистики – это приблизительное стандартное отклонение статистической выборки. Стандартная ошибка – это статистический термин, который измеряет точность, с которой выборочное распределение представляет генеральную совокупность с помощью стандартного отклонения. В статистике выборочное среднее отклоняется от фактического среднего для генеральной совокупности; это отклонение представляет собой стандартную ошибку среднего.

Ключевые моменты

Стандартная ошибка – это приблизительное стандартное отклонение статистической выборки.
Стандартная ошибка может включать вариацию между вычисленным средним для генеральной совокупности и тем, которое считается известным или принимаемым как точное.
Чем больше точек данных участвует в расчетах среднего, тем меньше стандартная ошибка.

Понимание стандартной ошибки

Термин «стандартная ошибка» используется для обозначения стандартного отклонения различных статистических данных выборки, таких как среднее или медианное значение. Например, «стандартная ошибка среднего» относится к стандартному отклонению распределения выборочных средних, взятых из генеральной совокупности. Чем меньше стандартная ошибка, тем более репрезентативной будет выборка для генеральной совокупности.

Связь между стандартной ошибкой и стандартным отклонением такова, что для данного размера выборки стандартная ошибка равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень из размера выборки. Стандартная ошибка также обратно пропорциональна размеру выборки; Чем больше размер выборки, тем меньше стандартная ошибка, поскольку статистика приближается к фактическому значению.

Стандартная ошибка считается частью выводимой статистики. Он представляет собой стандартное отклонение среднего значения в наборе данных. Это служит мерой вариации случайных величин, обеспечивая измерение спреда. Чем меньше разброс, тем точнее набор данных.

Краткая справка

Стандартная ошибка и стандартное отклонение – это меры изменчивости, в то время как меры центральной тенденции включают среднее значение, медианное значение и т. Д.

Требования к стандартной ошибке

Когда производится выборка из генеральной совокупности , обычно рассчитывается среднее или среднее значение. Стандартная ошибка может включать разброс между вычисленным средним для генеральной совокупности и тем, которое считается известным или принимаемым как точное. Это помогает компенсировать любые случайные неточности, связанные со сбором пробы.

В случаях, когда собирается несколько образцов, среднее значение каждой выборки может незначительно отличаться от других, создавая разброс между переменными. Этот разброс чаще всего измеряется как стандартная ошибка, учитывающая различия между средними значениями в наборах данных.

Чем больше точек данных участвует в расчетах среднего, тем меньше стандартная ошибка. Когда стандартная ошибка мала, данные считаются более репрезентативными для истинного среднего значения. В случаях, когда стандартная ошибка велика, данные могут иметь некоторые заметные отклонения.

Стандартное отклонение – это представление разброса каждой точки данных. Стандартное отклонение используется для определения достоверности данных на основе количества точек данных, отображаемых на каждом уровне стандартного отклонения. Стандартные ошибки больше служат способом определения точности образца или точности нескольких образцов путем анализа отклонения в пределах средних.

Имея
прямую регрессии, необходимо оценить
насколько сильно точки исходных данных
отклоняются от прямой регрессии. Можно
выполнить оценку разброса, аналогичную
стандартному отклонению выборки. Этот
показатель, называемый стандартной
ошибкой оценки, демонстрирует величину
отклонения точек исходных данных от
прямой регрессии в направлении оси Y.
Стандартная ошибка оценки ()
вычисляется по следующей формуле.

Стандартная
ошибка оценки измеряет степень отличия
реальных значений Y от оцененной величины.
Для сравнительно больших выборок следует
ожидать, что около 67% разностей по модулю
не будет превышать

и около 95% модулей разностей будет не
больше 2.

Стандартная
ошибка оценки подобна стандартному
отклонению. Ее можно использовать для
оценки стандартного отклонения
совокупности. Фактически

оценивает стандартное отклонение

слагаемого ошибки

в статистической модели простой линейной
регрессии. Другими словами,

оценивает общее стандартное отклонение

нормального распределения значений Y,
имеющих математические ожидания

для каждого X.

Малая
стандартная ошибка оценки, полученная
при регрессионном анализе, свидетельствует,
что все точки данных находятся очень
близко к прямой регрессии. Если стандартная
ошибка оценки велика, точки данных могут
значительно удаляться от прямой.

2.3 Прогнозирование величины y

Регрессионную
прямую можно использовать для оценки
величины переменной Y
при данных значениях переменной X. Чтобы
получить точечный прогноз, или предсказание
для данного значения X, просто вычисляется
значение найденной функции регрессии
в точке X.

Конечно
реальные значения величины Y,
соответствующие рассматриваемым
значениям величины X, к сожалению, не
лежат в точности на регрессионной
прямой. Фактически они разбросаны
относительно прямой в соответствии с
величиной
.
Более того, выборочная регрессионная
прямая является оценкой регрессионной
прямой генеральной совокупности,
основанной на выборке из определенных
пар данных. Другая случайная выборка
даст иную выборочную прямую регрессии;
это аналогично ситуации, когда различные
выборки из одной и той же генеральной
совокупности дают различные значения
выборочного среднего.

Есть
два источника неопределенности в
точечном прогнозе, использующем уравнение
регрессии.

Неопределенность,
обусловленная отклонением точек данных
от выборочной прямой регрессии.
Неопределенность,
обусловленная отклонением выборочной
прямой регрессии от регрессионной
прямой генеральной совокупности.

Интервальный
прогноз значений переменной Y
можно построить так, что при этом будут
учтены оба источника неопределенности.

Стандартная
ошибка прогноза

дает меру вариативности предсказанного
значения Y
около истинной величины Y
для данного значения X.
Стандартная ошибка прогноза равна:

Стандартная
ошибка прогноза зависит от значения X,
для которого прогнозируется величина
Y.

минимально, когда
,
поскольку тогда числитель в третьем
слагаемом под корнем в уравнении будет
0. При прочих неизменных величинах
большему отличию соответствует большее
значение стандартной ошибки прогноза.

Если
статистическая модель простой линейной
регрессии соответствует действительности,
границы интервала прогноза величины Y
равны:

где

— квантиль распределения Стьюдента с
n-2 степенями свободы ().
Если выборка велика (),
этот квантиль можно заменить соответствующим
квантилем нормального распределения.
Например, для большой выборки 95%-ный
интервал прогноза задается следующими
значениями:

Завершим
раздел обзором предположений, положенных
в основу статистической модели линейной
регрессии.

Для
заданного значения X генеральная
совокупность значений Y имеет нормальное
распределение относительно регрессионной
прямой совокупности. На практике
приемлемые результаты получаются
и
тогда, когда значения Y имеют
нормальное распределение лишь
приблизительно.
Разброс
генеральной совокупности точек данных
относительно регрессионной прямой
совокупности остается постоянным всюду
вдоль этой прямой. Иными словами, при
возрастании значений X в точках данных
дисперсия генеральной совокупности
не увеличивается и не уменьшается.
Нарушение этого предположения называется
гетероскедастичностью.
Слагаемые
ошибок

независимы между собой. Это предположение
определяет случайность выборки точек
Х-Y.
Если точки данных X-Y
записывались в течение некоторого
времени, данное предположение часто
нарушается. Вместо независимых данных,
такие последовательные наблюдения
будут давать серийно коррелированные
значения.
В
генеральной совокупности существует
линейная зависимость между X и Y.
По аналогии с простой линейной регрессией
может рассматриваться и нелинейная
зависимость между X и У. Некоторые такие
случаи будут обсуждаться ниже.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Для значения, которое выбирается с несмещенной ошибкой с нормальным распределением, приведенное выше показывает долю выборок, которая будет находиться между 0, 1, 2 и 3 стандартными отклонениями выше и ниже фактического значения.

Стандартная ошибка ( SE ) из статистики (обычно подсчет параметра ) является стандартным отклонением ее выборочного распределения или оценка этого стандартного отклонения. Если статистика является выборочным средним, это называется стандартной ошибкой среднего ( SEM ).

Распределение выборки из среднего генерируется путем повторного отбора образцов из того же населения и записи средств, полученных образцов. Это формирует распределение различных средних, и это распределение имеет собственное среднее значение и дисперсию . Математически дисперсия полученного распределения выборки равна дисперсии генеральной совокупности, деленной на размер выборки. Это связано с тем, что по мере увеличения размера выборки средние значения выборки сгруппируются более близко к среднему значению генеральной совокупности.

Следовательно, соотношение между стандартной ошибкой среднего и стандартным отклонением таково, что для данного размера выборки стандартная ошибка среднего равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень из размера выборки. Другими словами, стандартная ошибка среднего — это мера разброса выборочных средних вокруг среднего по генеральной совокупности.

В регрессионном анализе термин «стандартная ошибка» относится либо к квадратному корню из приведенной статистики хи-квадрат, либо к стандартной ошибке для конкретного коэффициента регрессии (который используется, например, в доверительных интервалах ).

Стандартная ошибка среднего

Точное значение

Если статистически независимые выборки наблюдений берется из статистической совокупности с стандартным отклонением от, то среднее значение, рассчитанное из образца будет иметь ассоциированную стандартную ошибку среднего значения на заданном с помощью:
${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ ${ displaystyle { sigma} _ { bar {x}}}$

${ displaystyle { sigma} _ { bar {x}} = { frac { sigma} { sqrt {n}}}}$

На практике это говорит нам о том, что при попытке оценить значение среднего по совокупности из-за фактора уменьшение ошибки оценки в два раза требует получения в четыре раза большего количества наблюдений в выборке; уменьшение его в десять раз требует в сто раз больше наблюдений.

Оценивать

Стандартное отклонение отобранной совокупности известно редко. Таким образом, стандартная ошибка среднего обычно оцениваются путем замены с стандартным отклонением выборки вместо:
$sigma _ {x}$

${ displaystyle { sigma} _ { bar {x}} приблизительно { frac { sigma _ {x}} { sqrt {n}}}}$

Поскольку это только оценка истинной «стандартной ошибки», здесь часто встречаются другие обозначения, такие как:

${ displaystyle { widehat { sigma}} _ { bar {x}} = { frac { sigma _ {x}} { sqrt {n}}}}$

или поочередно . ${ displaystyle {s} _ { bar {x}} = { frac {s} { sqrt {n}}}}$

Общим источником путаницы возникает при отсутствии четко различать между стандартным отклонением населения ( ), стандартное отклонение выборки ( ), стандартное отклонение среднего само по себе (, который является стандартная ошибка), а оценка из стандартное отклонение среднего ( которое является наиболее часто вычисляемой величиной и также часто в просторечии называется стандартной ошибкой ).
$sigma _ {x}$ ${ displaystyle sigma _ { bar {x}}}$ ${ displaystyle { widehat { sigma}} _ { bar {x}}}$

Точность оценщика

Когда размер выборки невелик, использование стандартного отклонения выборки вместо истинного стандартного отклонения генеральной совокупности будет иметь тенденцию к систематическому занижению стандартного отклонения генеральной совокупности, а, следовательно, и стандартной ошибки. При n = 2 занижение составляет около 25%, но для n = 6 занижение составляет всего 5%. Гурланд и Трипати (1971) предлагают поправку и уравнение для этого эффекта. Сокал и Рольф (1981) приводят уравнение поправочного коэффициента для малых выборок n <20. См. Несмещенную оценку стандартного отклонения для дальнейшего обсуждения.

Вывод

Стандартная ошибка среднего может быть получена из дисперсии суммы независимых случайных величин с учетом определения дисперсии и некоторых ее простых свойств . Если это независимые наблюдения от совокупности со средним значением и стандартным отклонением, то мы можем определить общую
${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$

${ Displaystyle T = (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n})}$

которые по формуле Биенайме будут иметь дисперсию

${ displaystyle operatorname {Var} (T) = { big (} operatorname {Var} (x_ {1}) + operatorname {Var} (x_ {2}) + cdots + operatorname {Var} ( x_ {n}) { big)} = n sigma ^ {2}.}$

Среднее значение этих измерений просто дается выражением

Тогда дисперсия среднего составляет

${ displaystyle operatorname {Var} ({ bar {x}}) = operatorname {Var} left ({ frac {T} {n}} right) = { frac {1} {n ^ { 2}}} operatorname {Var} (T) = { frac {1} {n ^ {2}}} n sigma ^ {2} = { frac { sigma ^ {2}} {n}} .}$

Стандартная ошибка — это, по определению, стандартное отклонение, которое представляет собой квадратный корень из дисперсии:

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = { sqrt { frac { sigma ^ {2}} {n}}} = { frac { sigma} { sqrt {n}}}}$

Для коррелированных случайных величин дисперсия выборки должна быть вычислена в соответствии с центральной предельной теоремой Маркова .

Независимые и одинаково распределенные случайные величины со случайным размером выборки

Бывают случаи, когда образец берут, не зная заранее, сколько наблюдений будет приемлемым по какому-либо критерию. В таких случаях размер выборки является случайной величиной, вариация которой добавляется к вариации, так что,
Икс

${ Displaystyle OperatorName {Var} (T) = OperatorName {E} (N) OperatorName {Var} (X) + Operatorname {Var} (N) { big (} Operatorname {E} (X) { big)} ^ {2}}$

Если имеет распределение Пуассона, то с оценкой . Следовательно, оценка становится, приводя к следующей формуле для стандартной ошибки:
${ displaystyle nS_ {X} ^ {2} + n { bar {X}} ^ {2}}$

${ displaystyle operatorname {Standard ~ Error} ({ bar {X}}) = { sqrt { frac {S_ {X} ^ {2} + { bar {X}} ^ {2}} {n }}}}$

(поскольку стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии)

Приближение Стьюдента при неизвестном значении σ

Во многих практических приложениях истинное значение σ неизвестно. В результате нам нужно использовать распределение, которое учитывает этот разброс возможных σ . Когда известно, что истинное базовое распределение является гауссовым, хотя и с неизвестным σ, тогда полученное оцененное распределение следует t-распределению Стьюдента. Стандартная ошибка — это стандартное отклонение t-распределения Стьюдента. Т-распределения немного отличаются от гауссовых и меняются в зависимости от размера выборки. Небольшие выборки с большей вероятностью недооценивают стандартное отклонение совокупности и имеют среднее значение, которое отличается от истинного среднего значения совокупности, а t-распределение Стьюдента учитывает вероятность этих событий с несколько более тяжелыми хвостами по сравнению с гауссовым. Для оценки стандартной ошибки t-распределения Стьюдента достаточно использовать выборочное стандартное отклонение «s» вместо σ, и мы могли бы использовать это значение для вычисления доверительных интервалов.

Примечание. Распределение вероятностей Стьюдента хорошо аппроксимируется распределением Гаусса, когда размер выборки превышает 100. Для таких выборок можно использовать последнее распределение, которое намного проще.

Предположения и использование

Пример того, как это используется, — это сделать доверительные интервалы для неизвестного среднего значения генеральной совокупности. Если распределение выборки имеет нормальное распределение, среднее значение выборки, стандартная ошибка и квантили нормального распределения могут использоваться для расчета доверительных интервалов для истинного среднего значения генеральной совокупности. Следующие выражения могут быть использованы для расчета верхнего и нижнего 95% доверительных интервалов, где равно среднему значению выборки, равно стандартной ошибке для среднего значения выборки, а 1,96 является приблизительным значением точки процентиля 97,5 нормального распространение :

Верхний предел 95% и

{ displaystyle = { bar {x}} + ( operatorname {SE} times 1,96),}

Нижний предел 95%

В частности, стандартная ошибка выборочной статистики (например, выборочное среднее ) — это фактическое или расчетное стандартное отклонение выборочного среднего в процессе, в котором оно было создано. Другими словами, это фактическое или оценочное стандартное отклонение выборочного распределения статистической выборки. Обозначение для стандартной ошибки может быть любым из SE, SEM (для стандартной ошибки измерения или среднего ), или S _E .

Стандартные ошибки обеспечивают простые меры неопределенности значения и часто используются, потому что:

во многих случаях, если известна стандартная ошибка нескольких отдельных величин, то стандартную ошибку некоторой функции величин можно легко вычислить;
когда распределение вероятностей значения известно, его можно использовать для вычисления точного доверительного интервала ;
когда распределение вероятностей неизвестно, для расчета консервативного доверительного интервала можно использовать неравенства Чебышева или Высочанского – Петунина ; а также
поскольку размер выборки стремится к бесконечности, центральная предельная теорема гарантирует, что выборочное распределение среднего является асимптотически нормальным .

Стандартная ошибка среднего значения по сравнению со стандартным отклонением

В научно-технической литературе экспериментальные данные часто обобщаются либо с использованием среднего значения и стандартного отклонения выборочных данных, либо среднего значения со стандартной ошибкой. Это часто приводит к путанице в отношении их взаимозаменяемости. Однако среднее значение и стандартное отклонение являются описательной статистикой, тогда как стандартная ошибка среднего описывает процесс случайной выборки. Стандартное отклонение данных выборки — это описание вариации в измерениях, в то время как стандартная ошибка среднего — это вероятностное утверждение о том, как размер выборки обеспечит лучшую границу оценок среднего для генеральной совокупности в свете центрального предела. теорема.

Проще говоря, стандартная ошибка выборочного среднего — это оценка того, насколько далеко среднее значение выборки может быть от среднего значения по совокупности, тогда как стандартное отклонение выборки — это степень, в которой отдельные лица в выборке отличаются от выборочного среднего. Если стандартное отклонение генеральной совокупности конечно, стандартная ошибка среднего значения выборки будет стремиться к нулю с увеличением размера выборки, потому что оценка генерального среднего будет улучшаться, в то время как стандартное отклонение выборки будет иметь тенденцию приближаться к стандарту генеральной совокупности. отклонение по мере увеличения размера выборки.

Расширения

Поправка на конечную популяцию (FPC)

Приведенная выше формула для стандартной ошибки предполагает, что размер выборки намного меньше, чем размер генеральной совокупности, так что совокупность может считаться фактически бесконечной по размеру. Обычно это имеет место даже в случае конечных популяций, потому что большую часть времени люди в первую очередь заинтересованы в управлении процессами, которые создали существующую конечную популяцию; это называется аналитическим исследованием вслед за У. Эдвардсом Демингом . Если люди заинтересованы в управлении существующей конечной совокупностью, которая не будет меняться с течением времени, то необходимо сделать поправку на размер популяции; это называется перечислительным исследованием .

Когда доля выборки (часто называемая f ) велика (примерно 5% или более) в переписном исследовании, оценка стандартной ошибки должна быть скорректирована путем умножения на «поправку на конечную совокупность» (также известную как fpc ):

${ displaystyle operatorname {FPC} = { sqrt { frac {Nn} {N-1}}}}$

что для больших N :

${ displaystyle operatorname {FPC} приблизительно { sqrt {1 - { frac {n} {N}}}} = { sqrt {1-f}}}$

чтобы учесть дополнительную точность, полученную за счет выборки, близкой к большему проценту населения. Эффект FPC является то, что ошибка становится равной нулю, когда размер выборки п равен размеру популяции N .

Это происходит в методологии обследования при выборке без замены . Если выборка с заменой, то FPC не играет роли.

Поправка на корреляцию в выборке

Ожидаемая ошибка среднего значения A для выборки из n точек данных с коэффициентом смещения выборки ρ . Несмещенная стандартная ошибка строится как диагональная линия ρ = 0 с логарифмическим наклоном −½.

Если значения измеренной величины A не являются статистически независимыми, но были получены из известных мест в пространстве параметров x, несмещенная оценка истинной стандартной ошибки среднего (фактически поправка на часть стандартного отклонения) может быть получена путем умножения рассчитанная стандартная ошибка выборки по коэффициенту f :

$f = { sqrt { frac {1+ rho} {1- rho}}},$

где коэффициент смещения выборки ρ представляет собой широко используемую оценку Прайса – Винстена коэффициента автокорреляции (величина от -1 до +1) для всех пар точек выборки. Эта приблизительная формула предназначена для выборки среднего и большого размера; Справочник дает точные формулы для любого размера выборки и может применяться к сильно автокоррелированным временным рядам, таким как котировки акций Уолл-стрит. Более того, эта формула работает как для положительного, так и для отрицательного значения ρ. См. Также объективную оценку стандартного отклонения для более подробного обсуждения.

Смотрите также

Иллюстрация центральной предельной теоремы
Допустимая погрешность
Вероятная ошибка
Стандартная ошибка средневзвешенного значения
Среднее значение выборки и ковариация выборки
Стандартная ошибка медианы
Дисперсия

использованная литература

Источник

Загрузить PDF

После сбора данных их нужно проанализировать. Обычно нужно найти среднее значение, квадратичное отклонение и погрешность. Мы расскажем вам, как это сделать.

1
Запишите числовые значения, которые вы собираетесь анализировать. Мы проанализируем случайно подобранные числовые значения в качестве примера.
- Например, 5 школьникам был предложен письменный тест. Их результаты (в баллах по 100 бальной системе): 12, 55, 74, 79 и 90 баллов.
Реклама

1
Для того чтобы посчитать среднее значение, нужно сложить все имеющиеся числовые значения и разделить получившееся число на их количество.
- Среднее значение (μ) = Σ/N, где Σ сумма всех числовых значений, а N количество значений.
- То есть, в нашем случае μ равно (12+55+74+79+90)/5 = 62.

1
Мы будем считать среднее отклонение. Среднее отклонение = σ = квадратный корень из [(Σ((X-μ)^2))/(N)].
- Для вышеуказанного примера это квадратный корень из [((12-62)^2 + (55-62)^2 + (74-62)^2 + (79-62)^2 + (90-62)^2)/(5)] = 27,4. (Обратите внимание, что если это выборочное среднеквадратическое отклонение, то делить нужно на N-1, где N количество значений.)
Реклама

1
Считаем среднюю погрешность (среднего значения). Это оценка того, насколько сильно округляется общее среднее значение. Чем больше числовых значений, тем меньше средняя погрешность, тем точнее среднее значение. Для расчета погрешности надо разделить среднее отклонение на корень квадратный от N. Стандартная погрешность = σ/кв.корень(n).
- Если в нашем примере 5 школьников, а всего в классе 50 школьников, и среднее отклонение, посчитанное для 50 школьников равно 17 (σ = 21), средняя погрешность = 17/кв. корень(5) = 7.6.

Советы

Расчеты среднего значения, среднего отклонения и погрешности годятся для анализа равномерно распределенных данных. Среднее отклонение математического среднего значения распределения относится приблизительно к 68% данных, 2 средних отклонения – к 95% данных, а 3 – к 99.7% данных. Стандартная погрешность же уменьшается при увеличении количества значений.
Простой в использовании калькулятор для расчета среднего отклонения.

Предупреждения

Считайте дважды. Все делают ошибки.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 67 118 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

2.1 Случайная величина

Гистограммы.

Свойства распределений.

Среднее и дисперсия.

Доверительный интервал.

2.2 Нормальное распределение

Доверительные вероятности.

Сравнение результатов измерений.

2.3 Независимые величины

2.4 Погрешность среднего

2.5 Результирующая погрешность опыта

2.6 Обработка косвенных измерений

2.6.1 Случай одной переменной

2.6.2 Случай многих переменных

Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?

Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки

Какой смысл использовать стандартную ошибку?

Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА

Что такое Стандартная ошибка?

Ключевые моменты

Понимание стандартной ошибки

Краткая справка

Требования к стандартной ошибке

2.3 Прогнозирование величины y

Стандартная ошибка среднего

Точное значение

Оценивать

Точность оценщика

Вывод

Независимые и одинаково распределенные случайные величины со случайным размером выборки

Приближение Стьюдента при неизвестном значении σ

Предположения и использование

Стандартная ошибка среднего значения по сравнению со стандартным отклонением

Расширения

Поправка на конечную популяцию (FPC)

Поправка на корреляцию в выборке

Смотрите также

использованная литература

Советы

Предупреждения

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Интересное по теме: